Back to the topics list
Google Play badge

derivatet

Një derivat është një raport i ndryshimit në vlerën e funksionit ndaj ndryshimit në variablin e pavarur.
Derivatet e një funksioni në një moment tregojnë shkallën e ndryshimit të një funksioni në atë pikë. Shkalla e ndryshimit mund të llogaritet me shpejtësinë e ndryshimit të funksionit \(\Delta y\) në ndryshimin e ndryshores së pavarur \(\Delta x\) , ky raport konsiderohet në kufi si \(\Delta x \to 0\) . derivati ​​i një funksioni f(x) paraqet shpejtësinë e ndryshimit të tij dhe shënohet me \(f\prime(x) \) ose df ∕ dx

Le të shohim së pari përkufizimin e tij dhe një ilustrim piktural të derivatit.

Derivati ​​i f është shpejtësia e ndryshimit të f. Shikoni grafikun e një kurbë më lart. Ai përfaqëson vlerën e f(x) në dy pika x dhe \(x + \Delta x \) , si f(x) dhe \(f(x + \Delta x)\) respektivisht. Ndërsa e bëni më të vogël intervalin midis këtyre dy pikave derisa të jetë pafundësisht i vogël, kemi një kufi \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Numëruesi \(f(x + \Delta x) - f(x)\) paraqet ndryshimin përkatës në vlerën e funksionit f mbi intervalin \(\Delta x\) . Kjo e bën derivatin e një funksioni f në një pikë x, shpejtësinë e ndryshimit të f në atë pikë.

Hapat për të gjetur derivatin e funksionit f(x) në pikën x janë:

1. Formoni herësin e diferencës \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Thjeshtoni koeficientin, duke anuluar kudo që të jetë e mundur.
3. Gjeni derivatin \(f\prime(x)\) , duke zbatuar kufirin në herës. Nëse ky kufi ekziston, atëherë themi se funksioni f(x) është i diferencueshëm në x.

Le të përpiqemi të nxjerrim derivatet për disa funksione

Shembulli 1 : Llogaritni derivatin e funksionit y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Shembulli 2: Gjeni derivatin e funksionit f(x) = 5x + 2

ky është vizatimi i funksionit 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Raporti i diferencës është \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivat } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Shembulli 3: Gjeni derivatin e ekuacionit kuadratik f(x) = x 2 . Le të përdorim grafikun dhe të kuptojmë derivatet në një mënyrë më të mirë.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Derivati ​​i x 2 është 2x. Do të thotë që për funksionin x 2 , shpejtësia e ndryshimit në çdo pikë është 2x.

shkalla e ndryshimit të f në x = 2 është vlera e \(f\prime(x)\) në x = 2, dmth \(f\prime (x) = 4\)

Derivatet e funksioneve të përbashkëta

Funksioni i përbashkët i derivatit
Konstanta c 0
Linja x 1
  ax a
katror x 2 2x
Rrënja katrore \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Eksponenciale e x e x
Logaritmet \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometri (x në radianë) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Këtu janë rregulla të dobishme për t'ju ndihmuar të përpunoni derivatet e shumë funksioneve:

  • Rregulla konstante: f(x) = c pastaj \(f\prime(x) = 0\)
  • Rregulla e shumëfishtë konstante: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ pastaj } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Rregulla e fuqisë: \( f(x) = x^n \textrm{ pastaj } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Rregulla e shumës dhe diferencës \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ pastaj } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Rregulli i produktit \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ pastaj } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Rregulla e koeficientit: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ pastaj } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Rregulla e zinxhirit: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ pastaj } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Shënim: Pjerrësia e një drejtëze tangjente në një pikë është derivati ​​i saj në atë pikë. Nëse një vijë tangjente vizatohet për një kurbë y = f(x) në një pikë (x 0 , y 0 ), atëherë pjerrësia e saj (m) fitohet thjesht duke zëvendësuar pikën në derivatin e funksionit.

Shembulli 4: Diferenconi 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (aplikimi i rregullit të fuqisë)

Shembulli 5: Diferenconi tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (zbatimi i rregullit të zinxhirit)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue