Back to the topics list
Google Play badge

derivat

En derivata är förhållandet mellan förändring i funktionens värde och förändring i den oberoende variabeln.
Derivator av en funktion vid någon tidpunkt betecknar förändringshastigheten för en funktion vid den punkten. Förändringshastigheten kan beräknas genom förändringshastigheten för funktionen \(\Delta y\) till förändringen av den oberoende variabeln \(\Delta x\) , detta förhållande anses i gränsen som \(\Delta x \to 0\) . derivatan av en funktion f(x) representerar dess förändringshastighet och betecknas med antingen \(f\prime(x) \) eller df ∕ dx

Låt oss först titta på dess definition och en bildillustration av derivatan.

Derivata av f är förändringshastigheten för f. Titta på grafen för en kurva ovan. Det representerar värdet av f(x) vid två punkter x och \(x + \Delta x \) , som f(x) respektive \(f(x + \Delta x)\) . När du gör intervallet mellan dessa två punkter mindre tills det är oändligt litet, har vi en gräns \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Täljaren \(f(x + \Delta x) - f(x)\) representerar motsvarande förändring av värdet på funktionen f över intervallet \(\Delta x\) . Detta gör derivatan av en funktion f vid en punkt x, förändringshastigheten för f vid den punkten.

Steg för att hitta derivatan av funktionen f(x) i punkt x är:

1. Forma skillnadskvoten \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Förenkla kvoten, avbryt när det är möjligt.
3. Hitta derivatan \(f\prime(x)\) , tillämpa gränsen på kvoten. Om denna gräns finns, så säger vi att funktionen f(x) är differentierbar vid x.

Låt oss försöka härleda derivatorna för några funktioner

Exempel 1 : Beräkna derivatan av funktionen y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Exempel 2: Hitta derivatan av funktionen f(x) = 5x + 2

detta är plottning av funktion 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Skillnaden är \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivat } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Exempel 3: Hitta derivatan av andragradsekvationen f(x) = x 2 . Låt oss använda grafen och förstå derivator på ett bättre sätt.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Derivatan av x 2 är 2x. Det betyder att för funktion x 2 är förändringshastigheten vid vilken punkt som helst 2x.

förändringshastigheten för f vid x = 2 är värdet av \(f\prime(x)\) vid x = 2, dvs. \(f\prime (x) = 4\)

Derivater av vanliga funktioner

Gemensam funktionsfunktion Derivatkonstant
c 0 Linje
x 1 _
  ax a
Kvadrat x 2 2x
kvadratrot \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponentiell e x e x
Logaritmer \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometri(x i radianer) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Här är användbara regler som hjälper dig att räkna ut derivatan av många funktioner:

  • Konstant regel: f(x) = c sedan \(f\prime(x) = 0\)
  • Konstant multipelregel: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ sedan } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Power Regel: \( f(x) = x^n \textrm{ sedan } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Summa och skillnadsregel: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ sedan } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Produktregel: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ sedan } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quotientregel: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ sedan } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Kedjeregel: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ sedan } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Notera: Lutningen för en tangentlinje vid en punkt är dess derivata vid den punkten. Om en tangentlinje dras för en kurva y = f(x) i en punkt (x 0 , y 0 ), så erhålls dess lutning (m) genom att helt enkelt ersätta punkten i funktionens derivata.

Exempel 4: Differentiera 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (tillämpa potensregel)

Exempel 5: Differentiera tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (tillämpar kedjeregel)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue