Back to the topics list
Google Play badge

derivatives

Nyingine ni uwiano wa mabadiliko katika thamani ya chaguo za kukokotoa kubadilika katika kigezo huru.
Miigo ya chaguo za kukokotoa wakati fulani huashiria kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa katika hatua hiyo. Kiwango cha mabadiliko kinaweza kuhesabiwa kwa kiwango cha mabadiliko ya chaguo za kukokotoa \(\Delta y\) hadi mabadiliko ya kigezo huru \(\Delta x\) , uwiano huu unazingatiwa katika kikomo kama \(\Delta x \to 0\) . derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) inawakilisha kiwango chake cha mabadiliko na inaashiria ama \(f\prime(x) \) au df ∕ dx

Hebu kwanza tuangalie ufafanuzi wake na kielelezo cha picha cha derivative.

Derivative ya f ni kasi ya mabadiliko ya f. Angalia grafu ya curve hapo juu. Inawakilisha thamani ya f(x) katika pointi mbili x na \(x + \Delta x \) , kama f(x) na \(f(x + \Delta x)\) mtawalia. Unapofanya muda kati ya pointi hizi mbili kuwa ndogo hadi iwe ndogo sana, tuna kikomo \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Nambari \(f(x + \Delta x) - f(x)\) inawakilisha mabadiliko yanayolingana katika thamani ya chaguo za kukokotoa f kwa muda \(\Delta x\) . Hii hufanya derivative ya f katika nukta x, kiwango cha mabadiliko ya f katika hatua hiyo.

Hatua za kupata derivative ya kazi f(x) kwa uhakika x ni:

1. Unda kiwango cha tofauti \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Rahisisha mgawo, ukighairi inapowezekana.
3. Pata derivative \(f\prime(x)\) , ukitumia kikomo kwa mgawo. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi tunasema kwamba chaguo la kukokotoa f(x) linaweza kutofautishwa kwa x.

Wacha tujaribu kupata derivatives kwa kazi chache

Mfano 1 : Kokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Mfano wa 2: Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) = 5x + 2

hii ni njama ya kazi 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Uwiano wa tofauti ni \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivative } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Mfano wa 3: Tafuta derivative ya quadratic equation f(x) = x 2 . Wacha tutumie grafu na tuelewe derivatives kwa njia bora.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Derivative ya x 2 ni 2x. Inamaanisha kwamba kwa kazi x 2 , kiwango cha mabadiliko katika hatua yoyote ni 2x.

kiwango cha mabadiliko ya f kwa x = 2 ni thamani ya \(f\prime(x)\) kwa x = 2, yaani \(f\prime (x) = 4\)

Derivatives ya kazi za kawaida

Utendakazi wa kawaida Derivative
Constant c 0
Mstari x 1
  ax a
Square x 2 2x
Square Root \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Kielelezo e x e x
Logarithms \(\log_a(x)\) 1/(x Katika(a))
Trigonometry(x katika radiani) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Hapa kuna sheria muhimu za kukusaidia kusuluhisha viini vya vitendaji vingi:

  • Sheria ya Mara kwa Mara: f(x) = c kisha \(f\prime(x) = 0\)
  • Kanuni ya Mara kwa Mara: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ basi } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Kanuni ya Nguvu: \( f(x) = x^n \textrm{ basi } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Kanuni ya Jumla na Tofauti \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ basi } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Kanuni ya Bidhaa \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ basi } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Kanuni ya Nukuu: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ basi } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Kanuni ya Mnyororo: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ basi } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Kumbuka: Mteremko wa mstari wa tanjiti katika hatua ni derivative yake katika hatua hiyo. Ikiwa mstari wa tangent umechorwa kwa curve y = f (x) kwa uhakika (x 0 , y 0 ), basi mteremko wake (m) unapatikana kwa kubadilisha tu uhakika katika derivative ya kazi.

Mfano wa 4: Tofautisha 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (kutumia kanuni ya nguvu)

Mfano 5: Tofautisha tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (kutumia kanuni ya mnyororo)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue