Back to the topics list
Google Play badge

สัญญาซื้อขายล่วงหน้า

อนุพันธ์ คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงค่าของฟังก์ชันต่อการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงสามารถคำนวณได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน \(\Delta y\) ต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระ \(\Delta x\) อัตราส่วนนี้ถือเป็นขีดจำกัดเท่ากับ \(\Delta x \to 0\) . อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงและเขียนแทนด้วย \(f\prime(x) \) หรือ df ∕ dx

ก่อนอื่นเรามาดูคำจำกัดความและภาพประกอบของอนุพันธ์กันก่อน

อนุพันธ์ของ f คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ f ดูกราฟเส้นโค้งด้านบน มันแทนค่าของ f(x) ที่จุดสองจุด x และ \(x + \Delta x \) ดังที่ f(x) และ \(f(x + \Delta x)\) ตามลำดับ เมื่อคุณทำให้ช่วงเวลาระหว่างสองจุดนี้น้อยลงจนกระทั่งมันเล็กลง เราก็มีขีดจำกัด \(\Delta x \to 0\)


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

ตัวเศษ \(f(x + \Delta x) - f(x)\) แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในค่าของฟังก์ชัน f ในช่วงเวลา \(\Delta x\) นี่ทำให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f ที่จุดนั้น

ขั้นตอนในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x คือ:

1. สร้างผลหารผลต่าง \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. ลดความซับซ้อนของผลหาร โดยยกเลิกเมื่อเป็นไปได้
3. ค้นหาอนุพันธ์ \(f\prime(x)\) โดยใช้ลิมิตกับผลหาร หากมีขีดจำกัดนี้ เราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x

เรามาลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันสองสามอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1 : คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 5x + 2

นี่คือการพล็อตฟังก์ชัน 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

อัตราส่วนผลต่างคือ \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ อนุพันธ์ } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

ตัวอย่างที่ 3: ค้นหาอนุพันธ์ของสมการกำลังสอง f(x) = x 2 ลองใช้กราฟและทำความเข้าใจอนุพันธ์กันดีกว่า

ฉ(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

อนุพันธ์ของ x 2 คือ 2x หมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน x 2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดใดๆ คือ 2x

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f ที่ x = 2 คือค่าของ \(f\prime(x)\) ที่ x = 2 กล่าวคือ \(f\prime (x) = 4\)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันร่วม

ฟังก์ชั่นทั่วไป ฟังก์ ชั่นอนุพันธ์
คงที่ c 0
เส้น x 1
  ax a
สแควร์ x 2 2x
รากที่สอง \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
เอกซ์โปเนนเชียล e x e x
ลอการิทึม \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
ตรีโกณมิติ(x เป็นเรเดียน) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

กฎ ที่เป็นประโยชน์ต่อไปนี้จะช่วยคุณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน:

  • กฎค่าคงที่: f(x) = c จากนั้น \(f\prime(x) = 0\)
  • กฎหลายค่าคงที่: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ แล้ว } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • กฎกำลังไฟฟ้า: \( f(x) = x^n \textrm{ แล้ว } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • กฎผลรวมและผล \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ แล้ว } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • กฎผลคูณ: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ แล้ว } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • กฎผลหาร: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ แล้ว } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • กฎลูกโซ่: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ แล้ว } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

หมายเหตุ: ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดหนึ่งคืออนุพันธ์ของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น หากลากเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (x 0 , y 0 ) ความชันของเส้นโค้ง (m) จะได้มาโดยการแทนที่จุดในอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 4: แยกความแตกต่าง 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (ใช้กฎยกกำลัง)

ตัวอย่างที่ 5: แยกแทน 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (ใช้กฎลูกโซ่)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue