Back to the topics list
Google Play badge

derivatives

Ang derivative ay isang ratio ng pagbabago sa halaga ng function upang baguhin sa independent variable.
Ang mga derivatives ng isang function sa isang punto ay tumutukoy sa rate ng pagbabago ng isang function sa puntong iyon. Ang rate ng pagbabago ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng rate ng pagbabago ng function \(\Delta y\) sa pagbabago ng independent variable \(\Delta x\) , ang ratio na ito ay isinasaalang-alang sa limitasyon bilang \(\Delta x \to 0\) . ang derivative ng isang function na f(x) ay kumakatawan sa rate ng pagbabago nito at tinutukoy ng alinman sa \(f\prime(x) \) o df ∕ dx

Tingnan muna natin ang kahulugan nito at isang nakalarawang paglalarawan ng hinalaw.

Ang derivative ng f ay ang rate ng pagbabago ng f. Tingnan ang graph ng isang curve sa itaas. Kinakatawan nito ang halaga ng f(x) sa dalawang puntos na x at \(x + \Delta x \) , bilang f(x) at \(f(x + \Delta x)\) ayon sa pagkakabanggit. Habang ginagawa mong mas maliit ang pagitan sa pagitan ng dalawang puntong ito hanggang sa ito ay napakaliit, mayroon kaming limitasyon \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Ang numerator \(f(x + \Delta x) - f(x)\) ay kumakatawan sa kaukulang pagbabago sa halaga ng function na f sa pagitan ng \(\Delta x\) . Ginagawa nitong derivative ng isang function f sa isang punto x, ang rate ng pagbabago ng f sa puntong iyon.

Ang mga hakbang upang mahanap ang derivative ng function na f(x) sa puntong x ay:

1. Buuin ang difference quotient \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Pasimplehin ang quotient, kanselahin hangga't maaari.
3. Hanapin ang derivative \(f\prime(x)\) , paglalapat ng limitasyon sa quotient. Kung umiiral ang limitasyong ito, sasabihin namin na ang function na f(x) ay naiba sa x.

Subukan nating kunin ang mga derivatives para sa ilang function

Halimbawa 1 : Kalkulahin ang derivative ng function na y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Halimbawa 2: Hanapin ang derivative ng function na f(x) = 5x + 2

ito ang plotting ng function 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Ang ratio ng pagkakaiba ay \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Derivative } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Halimbawa 3: Hanapin ang derivative ng quadratic equation f(x) = x 2 . Gamitin natin ang graph at unawain ang mga derivative sa mas mahusay na paraan.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Ang derivative ng x 2 ay 2x. Nangangahulugan ito na para sa function x 2 , ang rate ng pagbabago sa anumang punto ay 2x.

ang rate ng pagbabago ng f sa x = 2 ay ang halaga ng \(f\prime(x)\) sa x = 2, ie \(f\prime (x) = 4\)

Mga derivatives ng mga karaniwang function

Common function function Derivative
Constant c 0
Line x 1
  ax a
Square x 2 2x
Square Root \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Exponential e x e x
Logarithms \(\log_a(x)\) 1/(x Sa(a))
Trigonometry(x sa radians) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Narito ang mga kapaki-pakinabang na panuntunan upang matulungan kang gawin ang mga derivatives ng maraming function:

  • Constant Rule: f(x) = c then \(f\prime(x) = 0\)
  • Constant Multiple Rule: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ pagkatapos } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Power Rule: \( f(x) = x^n \textrm{ pagkatapos } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Panuntunan ng Kabuuan at Pagkakaiba: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ pagkatapos } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Panuntunan ng Produkto: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ pagkatapos } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quotient Rule: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ pagkatapos } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Chain Rule: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ pagkatapos } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Tandaan: Ang slope ng isang tangent na linya sa isang punto ay ang derivative nito sa puntong iyon. Kung ang isang padaplis na linya ay iguguhit para sa isang kurba y = f(x) sa isang punto (x 0 , y 0 ), kung gayon ang slope (m) nito ay nakuha sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng punto sa hinango ng function.

Halimbawa 4: Ibahin ang pagkakaiba ng 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (paglalapat ng panuntunan ng kapangyarihan)

Halimbawa 5: Ibahin ang pagkakaiba sa tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (paglalapat ng chain rule)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue