Back to the topics list
Google Play badge

türevler

Türev, fonksiyonun değerindeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevleri, fonksiyonun o noktadaki değişim oranını belirtir. Değişim oranı \(\Delta y\) fonksiyonunun bağımsız değişken \(\Delta x\) değişimine oranı ile hesaplanabilir, bu oran limit olarak \(\Delta x \to 0\) olarak kabul edilir. \(\Delta x \to 0\) . f(x) fonksiyonunun türevi, onun değişim oranını temsil eder ve \(f\prime(x) \) veya df ∕ dx ile gösterilir

Önce türevin tanımına ve resimli anlatımına bakalım.

f'nin türevi f'nin değişim oranıdır. Yukarıdaki eğrinin grafiğine bakın. F(x)'in x ve \(x + \Delta x \) iki noktasındaki değerini sırasıyla f(x) ve \(f(x + \Delta x)\) olarak temsil eder. Bu iki nokta arasındaki aralığı sonsuz küçüklüğe kadar küçülttüğünüzde, bir \(\Delta x \to 0\) limitimiz olur.


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

\(f(x + \Delta x) - f(x)\) payı \(\Delta x\) aralığı boyunca f fonksiyonunun değerindeki karşılık gelen değişikliği temsil eder. Bu, bir f fonksiyonunun x noktasında türevini, yani f'nin o noktadaki değişim oranını verir.

f(x) fonksiyonunun x noktasında türevini bulma adımları:

1. Fark bölümünü oluşturun \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Mümkün olan her yerde iptal ederek bölümü basitleştirin.
3. Limiti bölüme uygulayarak \(f\prime(x)\) türevini bulun. Eğer bu limit mevcutsa, f(x) fonksiyonunun x'te türevlenebilir olduğunu söyleriz.

Birkaç fonksiyonun türevlerini türetmeye çalışalım

Örnek 1 : y = x fonksiyonunun türevini hesaplayın

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Örnek 2: f(x) = 5x + 2 fonksiyonunun türevini bulun

bu 5x + 2 fonksiyonunun grafiğidir

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Fark oranı \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5'tir

\(\therefore\textrm{ Türev } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Örnek 3: İkinci dereceden denklem f(x) = x 2'nin türevini bulun. Grafiği kullanalım ve türevleri daha iyi anlayalım.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2'nin türevi 2x'tir. Bu, x 2 fonksiyonu için herhangi bir noktadaki değişim oranının 2x olduğu anlamına gelir.

f'nin x = 2'deki değişim oranı \(f\prime(x)\) nin x = 2'deki değeridir, yani \(f\prime (x) = 4\)

Ortak fonksiyonların türevleri

Ortak fonksiyon fonksiyonu Türev
Sabiti c 0
Doğru x 1
  ax a
Kare x 2 2x
Kare Kök \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Üstel e x e x
Logaritma \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Trigonometri(radyan cinsinden x) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

İşte birçok fonksiyonun türevlerini hesaplamanıza yardımcı olacak faydalı kurallar :

  • Sabit Kuralı: f(x) = c sonra \(f\prime(x) = 0\)
  • Sabit Çoklu Kural: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ Daha sonra } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Kuvvet Kuralı: \( f(x) = x^n \textrm{ Daha sonra } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Toplam ve Fark Kuralı: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ Daha sonra } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Çarpım Kuralı: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ Daha sonra } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Bölüm Kuralı: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ Daha sonra } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Zincir Kuralı: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ Daha sonra } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Not: Bir noktadaki teğet doğrunun eğimi o noktadaki türevidir. Bir y = f(x) eğrisi için bir (x 0 , y 0 ) noktasında teğet bir çizgi çizilirse, o zaman eğimi (m), noktanın fonksiyonun türevinde değiştirilmesiyle elde edilir.

Örnek 4: 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (kuvvet kuralını uygulama)

Örnek 5: tan 2 x'in türevini alın

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (zincir kuralı uygulanıyor)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue