Back to the topics list
Google Play badge

похідні

Похідна — це відношення зміни значення функції до зміни незалежної змінної.
Похідні функції в деякій точці позначають швидкість зміни функції в цій точці. Швидкість зміни можна розрахувати за швидкістю зміни функції \(\Delta y\) до зміни незалежної змінної \(\Delta x\) , це співвідношення розглядається в обмеженні як \(\Delta x \to 0\) . похідна функції f(x) представляє швидкість її зміни та позначається \(f\prime(x) \) або df ∕ dx

Давайте спочатку розглянемо його визначення та графічну ілюстрацію похідної.

Похідна f — це швидкість зміни f. Подивіться на графік кривої вище. Він представляє значення f(x) у двох точках x і \(x + \Delta x \) як f(x) і \(f(x + \Delta x)\) відповідно. Коли ви зменшуєте інтервал між цими двома точками, поки він не стане нескінченно малим, ми маємо межу \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Чисельник \(f(x + \Delta x) - f(x)\) представляє відповідну зміну значення функції f на інтервалі \(\Delta x\) . Це робить похідну функції f у точці x, швидкість зміни f у цій точці.

Кроки для знаходження похідної функції f(x) у точці x:

1. Утворіть різницеву частку \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Спростіть частку, відмінюючи, де це можливо.
3. Знайдіть похідну \(f\prime(x)\) , застосовуючи обмеження до частки. Якщо ця межа існує, то ми говоримо, що функція f(x) диференційовна в x.

Спробуємо вивести похідні для кількох функцій

Приклад 1 : обчисліть похідну функції y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = 5x + 2

це графік функції 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Коефіцієнт різниці \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Похідна } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Приклад 3: Знайдіть похідну квадратного рівняння f(x) = x 2 . Давайте скористаємося графіком і краще зрозуміємо похідні.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Похідна x 2 дорівнює 2x. Це означає, що для функції x 2 швидкість зміни в будь-якій точці дорівнює 2x.

швидкість зміни f при x = 2 - це значення \(f\prime(x)\) при x = 2, тобто \(f\prime (x) = 4\)

Похідні спільних функцій

Загальна функція Функція Похідна
Константа c 0
Рядок x 1
  ax a
Квадрат x 2 2x
Квадратний корінь \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Експоненціальний e x e x
Логарифми \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Тригонометрія (x у радіанах) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Ось корисні правила , які допоможуть вам розрахувати похідні багатьох функцій:

  • Правило констант: f(x) = c, тоді \(f\prime(x) = 0\)
  • Правило постійних множин: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ потім } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • Правило ступеня: \( f(x) = x^n \textrm{ потім } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Правило суми та різниці: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ потім } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Правило добутку: \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ потім } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Правило частки: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ потім } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Правило ланцюга: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ потім } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Примітка. Нахил дотичної в точці є її похідною в цій точці. Якщо для кривої y = f(x) у точці (x 0 , y 0 ) провести дотичну лінію, то її нахил (m) отримують простою підставкою точки в похідну функції.

Приклад 4: продиференціюйте 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (застосовуючи правило ступеня)

Приклад 5: диференціювати tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (застосовує правило ланцюга)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue