Back to the topics list
Google Play badge

مشتق

ایک مشتق فعل کی قدر میں تبدیلی کا تناسب ہے جو آزاد متغیر میں تبدیل ہوتا ہے۔
کسی مقام پر کسی فنکشن کے مشتقات اس مقام پر کسی فنکشن کی تبدیلی کی شرح کو ظاہر کرتے ہیں۔ تبدیلی کی شرح کا حساب فعل \(\Delta y\) کی تبدیلی کی شرح سے آزاد متغیر \(\Delta x\) کی تبدیلی سے لگایا جا سکتا ہے، اس تناسب کو حد میں \(\Delta x \to 0\) کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ \(\Delta x \to 0\) ۔ فنکشن کا مشتق f(x) اس کی تبدیلی کی شرح کو ظاہر کرتا ہے اور اسے \(f\prime(x) \) یا df ∕ dx سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

آئیے پہلے اس کی تعریف اور مشتق کی تصویری مثال پر نظر ڈالیں۔

f کا مشتق f کی تبدیلی کی شرح ہے۔ اوپر ایک وکر کے گراف کو دیکھیں۔ یہ f(x) کی قدر کو دو پوائنٹس x اور \(x + \Delta x \) پر ظاہر کرتا ہے، بطور بالترتیب f(x) اور \(f(x + \Delta x)\) ۔ جیسا کہ آپ ان دو پوائنٹس کے درمیان وقفہ کو چھوٹا کرتے ہیں جب تک کہ یہ لامحدود طور پر چھوٹا نہ ہو، ہمارے پاس ایک حد ہے \(\Delta x \to 0\) ۔


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

ہندسہ \(f(x + \Delta x) - f(x)\) وقفہ کے دوران فنکشن f کی قدر میں متعلقہ تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے \(\Delta x\) ۔ یہ ایک نقطہ x پر ایک فنکشن f کا اخذ کرتا ہے، اس نقطہ پر f کی تبدیلی کی شرح۔

نقطہ x پر فنکشن f(x) کے مشتق کو تلاش کرنے کے اقدامات یہ ہیں:

1. فرق کوٹینٹ بنائیں \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. حصہ کو آسان بنائیں، جہاں بھی ممکن ہو منسوخ کریں۔
3. ماخوذ \(f\prime(x)\) تلاش کریں، حصص پر حد کا اطلاق کرتے ہوئے۔ اگر یہ حد موجود ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ فنکشن f(x) ایکس پر مختلف ہے۔

آئیے چند افعال کے لیے مشتقات اخذ کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

مثال 1 : فنکشن y = x کے مشتق کا حساب لگائیں۔

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


مثال 2: فنکشن f(x) = 5x + 2 کا مشتق تلاش کریں۔

یہ فنکشن 5x + 2 کی سازش ہے۔

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

فرق کا تناسب ہے \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ مشتق } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

مثال 3: چوکور مساوات f(x) = x 2 کا مشتق تلاش کریں۔ آئیے گراف کا استعمال کریں اور مشتقات کو بہتر طریقے سے سمجھیں۔

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

x 2 کا مشتق 2x ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ فنکشن x 2 کے لیے، کسی بھی مقام پر تبدیلی کی شرح 2x ہے۔

x = 2 پر f کی تبدیلی کی شرح x = 2 پر \(f\prime(x)\) کی قدر ہے، یعنی \(f\prime (x) = 4\)

عام افعال کے مشتقات

کامن فنکشن فنکشن ڈیریویٹیو
کونسٹنٹ c 0
لائن x 1
  ax a
مربع x 2 2x
مربع جڑ \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
ایکسپونیشل e x e x
لوگاریتھمز \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
مثلثیات (x ریڈینز میں) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

بہت سے فنکشنز کے مشتقات پر کام کرنے میں آپ کی مدد کرنے کے لیے یہاں مفید اصول ہیں:

  • مستقل اصول: f(x) = c پھر \(f\prime(x) = 0\)
  • Constant Multiple Rule: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ پھر } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • پاور رول: \( f(x) = x^n \textrm{ پھر } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • مجموعہ اور فرق کا اصول: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ پھر } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • پروڈکٹ کا اصول \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ پھر } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • اقتباس کا اصول: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ پھر } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • سلسلہ اصول: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ پھر } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

نوٹ: کسی نقطہ پر ٹینجنٹ لائن کی ڈھلوان اس نقطہ پر اس کا مشتق ہے۔ اگر کسی نقطہ (x 0 , y 0 ) پر منحنی y = f(x) کے لیے ٹینجنٹ لائن کھینچی جاتی ہے، تو اس کی ڈھلوان (m) صرف فنکشن کے مشتق میں پوائنٹ کو بدل کر حاصل کی جاتی ہے۔

مثال 4: فرق 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (طاقت کے اصول کا اطلاق)

مثال 5: tan 2 x کو فرق کریں

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (زنجیر کے اصول کا اطلاق)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue