Back to the topics list
Google Play badge

các dẫn xuất

Đạo hàm là tỷ số giữa sự thay đổi giá trị của hàm với sự thay đổi của biến độc lập.
Đạo hàm của hàm số tại một điểm nào đó biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó. Tốc độ thay đổi có thể được tính bằng tốc độ thay đổi của hàm \(\Delta y\) đối với sự thay đổi của biến độc lập \(\Delta x\) , tỷ lệ này được coi là giới hạn là \(\Delta x \to 0\) . đạo hàm của hàm f(x) biểu thị tốc độ thay đổi của nó và được ký hiệu là \(f\prime(x) \) hoặc df ∕ dx

Trước tiên chúng ta hãy xem định nghĩa của nó và minh họa bằng hình ảnh của đạo hàm.

Đạo hàm của f là tốc độ thay đổi của f. Nhìn vào biểu đồ của một đường cong ở trên. Nó biểu thị giá trị của f(x) tại hai điểm x và \(x + \Delta x \) , lần lượt là f(x) và \(f(x + \Delta x)\) . Khi bạn làm cho khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ hơn cho đến khi nó cực kỳ nhỏ, chúng ta có một giới hạn \(\Delta x \to 0\) .


\(f\prime(x) = \frac{df }{dx} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x}\)

Tử số \(f(x + \Delta x) - f(x)\) biểu thị sự thay đổi tương ứng về giá trị của hàm f trong khoảng \(\Delta x\) . Điều này tạo nên đạo hàm của hàm f tại một điểm x, tốc độ thay đổi của f tại điểm đó.

Các bước tìm đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x là:

1. Lập thương số chênh lệch \(\frac{dy }{dx} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
2. Đơn giản hóa thương số, hủy bỏ nếu có thể.
3. Tìm đạo hàm \(f\prime(x)\) , áp dụng giới hạn cho thương. Nếu giới hạn này tồn tại thì ta nói hàm f(x) khả vi tại x.

Chúng ta thử tìm đạo hàm của một số hàm

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số y = x

\(y\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{ \Delta x\to0}1=1\)


Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 5x + 2

đây là đồ thị của hàm số 5x + 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = [5(x+\Delta x) +2] - [5x +2] = 5x + 5\Delta x + 2 - 5x - 2 = 5\Delta x\)

Tỷ lệ chênh lệch là \(\frac{5\Delta x}{\Delta x}\) = 5

\(\therefore\textrm{ Phát sinh } f\prime(x) = \lim\limits_{ \Delta x\to0}5 = 5\)

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của phương trình bậc hai f(x) = x 2 . Hãy sử dụng biểu đồ và hiểu đạo hàm một cách tốt hơn.

f(x) = x 2

\(\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x) = (x+\Delta x)^2 - x^2\)

\(\Delta y = x^2 + 2x\Delta x +\Delta x^2-x^2 = \Delta x(2x+\Delta x)\)

Đạo hàm của x 2 là 2x. Điều đó có nghĩa là đối với hàm x 2 , tốc độ thay đổi tại bất kỳ điểm nào là 2x.

tốc độ thay đổi của f tại x = 2 là giá trị của \(f\prime(x)\) tại x = 2, tức là \(f\prime (x) = 4\)

Đạo hàm của hàm số chung

Hàm số chung Hàm đạo hàm Hằng
số c 0
Dòng x 1
  ax a
Hình vuông x 2 2x
Căn bậc hai \(\sqrt x\) \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\)
Số mũ e x e x
Logarit \(\log_a(x)\) 1/(x In(a))
Lượng giác(x tính bằng radian) \(\sin(x)\) \(\cos(x) \)
  \(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)
  \(\tan(x)\)

\(\sec^2(x)\)

Dưới đây là các quy tắc hữu ích giúp bạn tính đạo hàm của nhiều hàm số:

  • Quy tắc hằng số: f(x) = c then \(f\prime(x) = 0\)
  • Quy tắc bội hằng số: \(g(x) = c \cdot f(x) \textrm{ sau đó } g\prime(x) = c \cdot f\prime(x)\)
  • tắc lũy thừa: \( f(x) = x^n \textrm{ sau đó } f\prime(x) = nx^{n-1}\)
  • Quy tắc tính tổng và hiệu: \(h(x) = f(x) \pm g(x) \textrm{ sau đó } h\prime(x) = f\prime(x) \pm g\prime(x)\)
  • Quy tắc \(h(x) = f(x)g(x) \textrm{ sau đó } h\prime(x) = f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)\)
  • Quy tắc thương: \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \textrm{ sau đó } h\prime(x) = \frac{ f\prime(x)g(x) + f(x)g\prime(x)}{g(x)^2}\)
  • Quy tắc Chuỗi: \(h(x) = f(g(x)) \textrm{ sau đó } h\prime(x) = f\prime(g(x))g\prime(x)\)

Lưu ý: Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm là đạo hàm của nó tại điểm đó. Nếu một đường tiếp tuyến được vẽ cho đường cong y = f(x) tại một điểm (x 0 , y 0 ), thì độ dốc (m) của nó có được bằng cách thay thế điểm đó vào đạo hàm của hàm số.

Ví dụ 4: Đạo hàm 10x 5

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(10x^5)}{dx}\)

\(10 \times 5 x^4 = 50 x^4\) (áp dụng quy tắc lũy thừa)

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm tan 2 x

\(y\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{d(tan^2x)}{dx}\)

\(2\tan x^{2-1} \times \frac{d(\tan x)}{dx}\) (áp dụng quy tắc chuỗi)

\(2\tan x⋅ \sec ^2 x\)

Download Primer to continue