संख्या प्रणाली गणित में एक आधारभूत अवधारणा है जो संख्याओं को विभिन्न श्रेणियों में वर्गीकृत करती है, जिनमें से प्रत्येक दैनिक जीवन, विज्ञान, इंजीनियरिंग और वित्त में अद्वितीय उद्देश्यों की पूर्ति करती है। गणितीय अध्ययन और अनुप्रयोगों में आगे बढ़ने के लिए संख्या प्रणाली को समझना महत्वपूर्ण है। यह पाठ विभिन्न प्रकार की संख्याओं, उनके गुणों और उनके एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने के तरीके का पता लगाएगा।
प्राकृतिक संख्याएँ, जिन्हें गिनती की संख्याएँ भी कहा जाता है, संख्याओं का सबसे सरल प्रकार हैं। इनमें 1 से शुरू होने वाले सभी धनात्मक पूर्णांक शामिल हैं। प्राकृतिक संख्याओं के समूह को \(\mathbb{N}\) द्वारा दर्शाया जाता है और इसे \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग वस्तुओं की गिनती और उन्हें क्रम देने के लिए किया जाता है।
पूर्ण संख्याएँ 0 को शामिल करके प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करती हैं। पूर्ण संख्याओं के समूह \(\mathbb{W}\) द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) शामिल होता है। पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के सभी गुणों को बनाए रखती हैं, शून्य के योग के साथ, जो मात्रा की अनुपस्थिति को दर्शाता है।
पूर्णांक पूर्ण संख्याओं के साथ ऋणात्मक संख्याओं को शामिल करके दायरे को और भी व्यापक बनाते हैं। पूर्णांकों के समूह को \(\mathbb{Z}\) द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\) शामिल होता है। पूर्णांकों का उपयोग उन राशियों को दर्शाने के लिए किया जाता है जो बढ़ सकती हैं (सकारात्मक), घट सकती हैं (नकारात्मक), या वही रह सकती हैं (शून्य)।
परिमेय संख्याओं में वे सभी संख्याएँ शामिल होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश या अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ हर शून्य नहीं होता है। इस सेट को \(\mathbb{Q}\) द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें संख्याओं का एक व्यापक स्पेक्ट्रम शामिल होता है, जिसमें अंश ( \(\frac{3}{4}\) ), पूर्णांक ( \(2\) , जो \(\frac{2}{1}\) है ), और दशमलव जो समाप्त होते हैं ( \(0.75\) ) या दोहराते हैं ( \(0.\overline{3}\) )। परिमेय संख्याएँ समीकरण \( \frac{a}{b} \) संतुष्ट करती हैं जहाँ \(a, b \in \mathbb{Z}\) और \(b \neq 0\) ।
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इन संख्याओं में गैर-समापन, गैर-पुनरावर्ती दशमलव विस्तार होते हैं। प्रसिद्ध उदाहरणों में \(\pi\) (लगभग 3.14159) और 2 का वर्गमूल ( \(\sqrt{2}\) , लगभग 1.41421) शामिल हैं। एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग या गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं को जोड़ती हैं, जो निरंतर संख्या रेखा के साथ हर संभव संख्या को कवर करती हैं। वास्तविक संख्याओं के समूह को \(\mathbb{R}\) द्वारा दर्शाया जाता है और इसमें वे सभी मान शामिल होते हैं जो किसी रेखा के साथ दूरी को दर्शा सकते हैं, चाहे वह सकारात्मक या नकारात्मक दिशा में हो, या शून्य हो। वास्तविक संख्याएँ ऊपर चर्चा की गई संख्याओं के पूरे स्पेक्ट्रम को समाहित करती हैं।
जटिल संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग शामिल होता है। इन्हें \(a + bi\) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, और \(i\) एक काल्पनिक इकाई है जिसका गुण \(i^2 = -1\) है। जटिल संख्याएँ एक-आयामी संख्या रेखाओं की अवधारणा को दो-आयामी समतलों तक विस्तारित करती हैं, जो संख्या गुणों और संचालन के एक नए स्तर को प्रस्तुत करती हैं।
विभिन्न प्रकार की संख्याओं के बीच संबंधों को एक आरेख के माध्यम से देखा जा सकता है। यह आरेख पूर्ण संख्याओं के भीतर प्राकृतिक संख्याओं के समावेश को दर्शाता है, जो बदले में पूर्णांकों में शामिल हैं। पूर्णांक, भिन्नों और कुछ दशमलवों के साथ मिलकर परिमेय संख्याएँ बनाते हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ अलग होती हैं। साथ में, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं। वास्तविक और काल्पनिक भागों वाली जटिल संख्याएँ उच्च आयाम में पहले बताई गई सभी श्रेणियों को समाहित करती हैं।
1. प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ: वस्तुओं की गिनती करने और सूची प्रबंधन, जनसंख्या अध्ययन और प्रारंभिक गणित में मात्राओं को दर्शाने में उपयोग किया जाता है।
2. पूर्णांक: वित्तीय लेखांकन में ऋणों (ऋणात्मक पूर्णांक) और परिसंपत्तियों (धनात्मक पूर्णांक) को दर्शाने के लिए, तथा तापमान पैमानों में, जहां शून्य से नीचे का तापमान सामान्य है, प्रयोग किया जाता है।
3. परिमेय संख्याएँ: खाना पकाने, निर्माण (आयाम, लंबाई, क्षेत्र) और वैज्ञानिक गणनाओं में मात्राओं को मापने के लिए आवश्यक, जिनमें विशिष्ट दशमलव स्थानों तक परिशुद्धता की आवश्यकता होती है।
4. अपरिमेय संख्याएँ: ज्यामिति और त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण, उदाहरण के लिए, एक वृत्त की परिधि ( \(C = 2\pi r\) ) की गणना करने के लिए अपरिमेय संख्या \(\pi\) की आवश्यकता होती है।
5. वास्तविक संख्याएँ: कैलकुलस और भौतिकी में आधारभूत, जहाँ सीमाओं, निरंतरता और वास्तविक दुनिया के मापों की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। दूरी, गति और बलों को मापने में वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं।
6. जटिल संख्याएँ: विद्युत इंजीनियरिंग में सर्किटों का विश्लेषण करने, सिग्नल प्रोसेसिंग और क्वांटम यांत्रिकी में लागू किया जाता है, जहाँ जटिल संख्या समीकरणों का उपयोग करके घटनाओं का वर्णन किया जा सकता है।
संख्या प्रणाली को समझना न केवल अधिक उन्नत गणित का अध्ययन करने के लिए आधार तैयार करता है, बल्कि शिक्षार्थियों को विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला को नेविगेट करने के लिए आवश्यक उपकरणों से भी लैस करता है। यह आधारभूत ज्ञान दुनिया के बारे में हमारी समझ को समृद्ध करता है और कई तकनीकों और विज्ञानों को आधार प्रदान करता है जो हमारे रोज़मर्रा के अनुभवों को आकार देते हैं।
