संख्या प्रणाली गणितमा आधारभूत अवधारणा हो जसले संख्याहरूलाई विभिन्न वर्गहरूमा वर्गीकरण गर्दछ, प्रत्येकले दैनिक जीवन, विज्ञान, इन्जिनियरिङ र वित्तमा अद्वितीय उद्देश्यहरू प्रदान गर्दछ। गणितीय अध्ययन र अनुप्रयोगहरूमा अगाडि बढ्नको लागि संख्या प्रणाली बुझ्न महत्त्वपूर्ण छ। यस पाठले विभिन्न प्रकारका संख्याहरू, तिनीहरूका गुणहरू, र तिनीहरूले एकअर्कासँग कसरी अन्तरक्रिया गर्छन् भन्ने अन्वेषण गर्नेछ।
प्राकृतिक संख्याहरू, जसलाई गणना संख्याहरू पनि भनिन्छ, संख्याहरूको सरल प्रकार हो। तिनीहरूमा 1 बाट सुरु हुने सबै सकारात्मक पूर्णांकहरू समावेश छन्। प्राकृतिक संख्याहरूको सेटलाई \(\mathbb{N}\) द्वारा जनाइएको छ र \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) को रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) । प्राकृतिक संख्याहरू वस्तुहरू गणना गर्न र क्रमबद्ध गर्न प्रयोग गरिन्छ।
पूर्ण संख्याहरू ० समावेश गरेर प्राकृतिक संख्याहरूमा विस्तार हुन्छन्। पूर्ण संख्याहरूको सेटलाई \(\mathbb{W}\) द्वारा जनाइएको छ र \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) ) समावेश गर्दछ। \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) । पूर्ण संख्याहरूले प्राकृतिक संख्याहरूको सबै गुणहरू राख्छन्, शून्यको थपको साथ, जसले मात्राको अनुपस्थितिलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ।
पूर्ण संख्याहरू सहित ऋणात्मक सङ्ख्याहरू समावेश गरेर पूर्णांकहरूले दायरालाई अझ फराकिलो बनाउँछ। पूर्णांकहरूको सेटलाई \(\mathbb{Z}\) द्वारा जनाइएको छ र यसमा \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\) समावेश छन्। \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\) । पूर्णांक संख्याहरू प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिन्छ जुन वृद्धि (सकारात्मक), घटाउन (नकारात्मक), वा समान (शून्य) रहन सक्छ।
परिमेय संख्याहरूले सबै संख्याहरू समावेश गर्दछ जुन अंश वा दुई पूर्णाङ्कहरूको अनुपातको रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ, जहाँ भाजक शून्य हुँदैन। यो सेटलाई \(\mathbb{Q}\) द्वारा जनाइएको छ र भिन्नहरू ( \(\frac{3}{4}\) ), पूर्णाङ्कहरू ( \(2\) सहित संख्याहरूको फराकिलो स्पेक्ट्रम समावेश गर्दछ, जुन \(\frac{2}{1}\) ), र दशमलव जो समाप्त हुन्छ ( \(0.75\) ) वा दोहोर्याउँछ ( \(0.\overline{3}\) )। परिमेय संख्याहरूले समीकरण \( \frac{a}{b} \) जहाँ \(a, b \in \mathbb{Z}\) र \(b \neq 0\) पूरा गर्छ।
अपरिमेय संख्याहरू संख्याहरू हुन् जुन दुई पूर्णाङ्कहरूको अनुपातको रूपमा व्यक्त गर्न सकिँदैन। यी संख्याहरूमा गैर-समाप्त, गैर-दोहोरिने दशमलव विस्तारहरू छन्। प्रसिद्ध उदाहरणहरू समावेश छन् \(\pi\) (लगभग 3.14159) र 2 ( \(\sqrt{2}\) , लगभग 1.41421) को वर्गमूल। परिमेय र अपरिमेय संख्याको योगफल वा गुणन सधैं अपरिमेय हुन्छ।
वास्तविक संख्याहरूले परिमेय र अपरिमेय संख्याहरू दुवैलाई जोड्दछ, निरन्तर संख्या रेखाको साथ प्रत्येक सम्भावित संख्यालाई कभर गर्दछ। वास्तविक संख्याहरूको सेटलाई \(\mathbb{R}\) द्वारा जनाइएको छ र यसले रेखासँग दूरी प्रतिनिधित्व गर्न सक्ने सबै मानहरू समावेश गर्दछ, चाहे यो सकारात्मक वा नकारात्मक दिशामा होस्, वा शून्य। वास्तविक संख्याहरूले माथि-चर्चा गरिएका संख्याहरूको सम्पूर्ण स्पेक्ट्रमलाई समेट्छ।
जटिल संख्याहरू वास्तविक भाग र काल्पनिक भाग समावेश गर्ने संख्याहरू हुन्। तिनीहरूलाई \(a + bi\) को रूपमा चित्रित गरिन्छ, जहाँ \(a\) र \(b\) वास्तविक संख्याहरू हुन्, र \(i\) गुण भएको काल्पनिक एकाइ हो जुन \(i^2 = -1\) । जटिल संख्याहरूले एक-आयामी संख्या रेखाहरूको अवधारणालाई दुई-आयामी विमानहरूमा विस्तार गर्दछ, संख्या गुणहरू र सञ्चालनहरूको पूर्ण नयाँ स्तरको परिचय दिन्छ।
विभिन्न प्रकारका संख्याहरू बीचको सम्बन्ध रेखाचित्र मार्फत कल्पना गर्न सकिन्छ। यो रेखाचित्रले पूर्ण संख्याहरू भित्र प्राकृतिक संख्याहरूको समावेश देखाउँछ, जुन पूर्णांकहरूमा समावेश हुन्छन्। पूर्णांकहरू, भिन्नहरू र निश्चित दशमलवहरू सहित, तर्कसंगत संख्याहरू बनाउँछन्, जबकि अपरिमेय संख्याहरू अलग हुन्छन्। सँगै, तर्कसंगत र अपरिमेय संख्याहरूले वास्तविक संख्याहरू बनाउँछ। जटिल संख्याहरू, वास्तविक र काल्पनिक भागहरू समावेश गर्दै, पहिले उल्लेख गरिएका सबै वर्गहरूलाई उच्च आयाममा समेट्छ।
1. प्राकृतिक र पूर्ण संख्याहरू: वस्तुहरू गणना गर्न र सूची व्यवस्थापन, जनसंख्या अध्ययन, र प्राथमिक गणितमा मात्राहरू प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिन्छ।
2. पूर्णांकहरू: ऋण (ऋणात्मक पूर्णांकहरू) र सम्पत्तिहरू (धनात्मक पूर्णांकहरू) को प्रतिनिधित्व गर्न वित्तीय लेखामा लागू गरिन्छ, र तापमान मापनहरूमा, जहाँ शून्य भन्दा कम तापमान सामान्य हुन्छ।
3. तर्कसंगत संख्याहरू: खाना पकाउने, निर्माण (आयाम, लम्बाइ, क्षेत्रहरू), र विशिष्ट दशमलव स्थानहरूमा सटीकता चाहिने वैज्ञानिक गणनाहरूमा मात्राहरू मापन गर्न आवश्यक छ।
4. अपरिमेय संख्याहरू: ज्यामिति र त्रिकोणमितिमा महत्वपूर्ण, उदाहरणका लागि, वृत्तको परिधि ( \(C = 2\pi r\) ) गणना गर्न अपरिमेय संख्या चाहिन्छ \(\pi\) ।
5. वास्तविक संख्याहरू: क्याल्कुलस र भौतिकशास्त्रमा आधारभूत, जहाँ सीमा, निरन्तरता, र वास्तविक-विश्व मापनहरूको अवधारणाहरू वास्तविक संख्याहरू प्रयोग गरेर व्यक्त गरिन्छ। दूरी, गति र बलहरू मापन गर्दा वास्तविक संख्याहरू समावेश हुन्छन्।
6. जटिल संख्याहरू: विद्युतीय इन्जिनियरिङमा सर्किटहरू, सिग्नल प्रशोधन, र क्वान्टम मेकानिक्समा विश्लेषण गर्न लागू गरिन्छ, जहाँ जटिल संख्या समीकरणहरू प्रयोग गरेर घटनाहरू वर्णन गर्न सकिन्छ।
संख्या प्रणाली बुझ्नुले थप उन्नत गणित अध्ययनको लागि आधार मात्र बनाउँदैन तर विभिन्न क्षेत्रहरूमा व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूको विस्तृत दायरा नेभिगेट गर्न आवश्यक उपकरणहरूसँग पनि सिकारुहरूलाई सुसज्जित बनाउँछ। यो आधारभूत ज्ञानले संसारको हाम्रो बुझाइलाई समृद्ध बनाउँछ र हाम्रो दैनिक अनुभवहरूलाई आकार दिने धेरै प्रविधिहरू र विज्ञानहरूलाई कम गर्छ।
