ระบบจำนวนเป็นแนวคิดพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ที่แบ่งตัวเลขออกเป็นประเภทต่างๆ โดยแต่ละประเภทมีจุดประสงค์เฉพาะในชีวิตประจำวัน วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการเงิน การเข้าใจระบบตัวเลขเป็นสิ่งสำคัญสำหรับความก้าวหน้าในการศึกษาทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ บทเรียนนี้จะสำรวจตัวเลขประเภทต่างๆ คุณสมบัติของตัวเลข และการโต้ตอบระหว่างกัน
จำนวนธรรมชาติหรือที่เรียกว่าการนับจำนวนเป็นตัวเลขประเภทที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เริ่มต้นจาก 1 ชุดของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย \(\mathbb{N}\) และสามารถแสดงเป็น \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับและเรียงลำดับวัตถุ
จำนวนเต็มขยายจากจำนวนธรรมชาติโดยรวม 0 เซตของจำนวนเต็มเขียนแทนด้วย \(\mathbb{W}\) และรวม \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) จำนวนเต็มคงคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติไว้ทั้งหมด โดยมีการบวกศูนย์ ซึ่งแสดงถึงการไม่มีปริมาณ
จำนวนเต็มขยายขอบเขตให้กว้างขึ้นอีกโดยการรวมจำนวนลบเข้ากับจำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเขียนแทนด้วย \(\mathbb{Z}\) และรวม \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\) . จำนวนเต็มใช้แทนปริมาณที่สามารถเพิ่ม (บวก) ลดลง (ลบ) หรือคงเดิม (ศูนย์)
จำนวนตรรกยะประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนหรืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว โดยที่ตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ ชุดนี้แสดงด้วย \(\mathbb{Q}\) และครอบคลุมสเปกตรัมของตัวเลขจำนวนมาก รวมถึงเศษส่วน ( \(\frac{3}{4}\) ) จำนวนเต็ม ( \(2\) ซึ่งก็คือ \(\frac{2}{1}\) ) และทศนิยมที่สิ้นสุด ( \(0.75\) ) หรือทำซ้ำ ( \(0.\overline{3}\) ) จำนวนตรรกยะเป็นไปตามสมการ \( \frac{a}{b} \) โดยที่ \(a, b \in \mathbb{Z}\) และ \(b \neq 0\)
จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ ตัวเลขเหล่านี้มีการขยายทศนิยมแบบไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง ได้แก่ \(\pi\) (ประมาณ 3.14159) และรากที่สองของ 2 ( \(\sqrt{2}\) ประมาณ 1.41421) ผลรวมหรือผลคูณของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ
จำนวนจริงมีทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะรวมกัน ครอบคลุมจำนวนที่เป็นไปได้ทุกจำนวนบนเส้นจำนวนต่อเนื่องกัน เซตของจำนวนจริงเขียนแทนด้วย \(\mathbb{R}\) และรวมค่าทั้งหมดที่สามารถแทนค่าระยะทางบนเส้นตรงได้ ไม่ว่าจะอยู่ในทิศทางบวกหรือลบ หรือศูนย์ก็ตาม จำนวนจริงครอบคลุมสเปกตรัมทั้งหมดของจำนวนที่กล่าวถึงข้างต้น
จำนวนเชิงซ้อนคือตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ พวกมันแสดงเป็น \(a + bi\) โดยที่ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง และ \(i\) เป็นหน่วยจินตภาพที่มีคุณสมบัติที่ \(i^2 = -1\) . จำนวนเชิงซ้อนขยายแนวคิดเรื่องเส้นจำนวนหนึ่งมิติไปสู่ระนาบสองมิติ ทำให้เกิดคุณสมบัติและการดำเนินการของตัวเลขในระดับใหม่ทั้งหมด
สามารถมองเห็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขประเภทต่างๆ ได้ผ่านแผนภาพ แผนภาพนี้แสดงการรวมจำนวนธรรมชาติภายในจำนวนเต็ม ซึ่งในทางกลับกันจะรวมอยู่ภายในจำนวนเต็ม จำนวนเต็มพร้อมกับเศษส่วนและทศนิยมบางตัวจะรวมกันเป็นจำนวนตรรกยะ ในขณะที่จำนวนอตรรกยะจะแยกออกจากกัน จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะรวมกันเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ครอบคลุมหมวดหมู่ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ทั้งหมดในมิติที่สูงกว่า
1. จำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม: ใช้ในการนับวัตถุและแสดงปริมาณในการจัดการสินค้าคงคลัง การศึกษาประชากร และคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา
2. จำนวนเต็ม: นำไปใช้ในการบัญชีการเงินเพื่อแสดงหนี้สิน (จำนวนเต็มลบ) และสินทรัพย์ (จำนวนเต็มบวก) และในระดับอุณหภูมิ ซึ่งมีอุณหภูมิต่ำกว่าศูนย์ทั่วไป
3. จำนวนตรรกยะ: จำเป็นในการวัดปริมาณในการประกอบอาหาร การก่อสร้าง (ขนาด ความยาว พื้นที่) และการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ที่ต้องการความแม่นยำในตำแหน่งทศนิยมเฉพาะ
4. จำนวนไม่ลงตัว: ความสำคัญในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ เช่น การคำนวณเส้นรอบวงของวงกลม ( \(C = 2\pi r\) ) ต้องใช้จำนวนอตรรกยะ \(\pi\)
5. จำนวนจริง: พื้นฐานในแคลคูลัสและฟิสิกส์ ซึ่งแนวคิดเกี่ยวกับขีดจำกัด ความต่อเนื่อง และการวัดในโลกแห่งความเป็นจริงแสดงโดยใช้จำนวนจริง การวัดระยะทาง ความเร็ว และแรงเกี่ยวข้องกับจำนวนจริง
6. จำนวนเชิงซ้อน: นำไปใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้าเพื่อวิเคราะห์วงจร การประมวลผลสัญญาณ และในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งสามารถอธิบายปรากฏการณ์ได้โดยใช้สมการจำนวนเชิงซ้อน
การทำความเข้าใจระบบตัวเลขไม่เพียงแต่เป็นรากฐานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงเท่านั้น แต่ยังช่วยให้ผู้เรียนมีเครื่องมือที่จำเป็นในการนำไปใช้งานจริงในสาขาต่างๆ อีกด้วย ความรู้พื้นฐานนี้ช่วยเพิ่มความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโลกและเป็นรากฐานของเทคโนโลยีและวิทยาศาสตร์มากมายที่หล่อหลอมประสบการณ์ในชีวิตประจำวันของเรา
