نمبر سسٹم ریاضی میں ایک بنیادی تصور ہے جو نمبروں کو مختلف زمروں میں درجہ بندی کرتا ہے، ہر ایک روزمرہ کی زندگی، سائنس، انجینئرنگ اور مالیات میں منفرد مقاصد کی تکمیل کرتا ہے۔ ریاضی کے مطالعہ اور ایپلی کیشنز میں آگے بڑھنے کے لیے نمبر سسٹم کو سمجھنا بہت ضروری ہے۔ اس سبق میں اعداد کی مختلف اقسام، ان کی خصوصیات، اور وہ ایک دوسرے کے ساتھ کیسے تعامل کرتے ہیں اس کا پتہ لگائے گا۔
قدرتی اعداد، جنہیں گنتی کی تعداد بھی کہا جاتا ہے، اعداد کی سب سے آسان قسم ہیں۔ ان میں 1 سے شروع ہونے والے تمام مثبت عدد شامل ہیں۔ قدرتی اعداد کے سیٹ کو \(\mathbb{N}\) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\) ۔ قدرتی نمبر اشیاء کو گننے اور ترتیب دینے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔
مکمل اعداد 0 کو شامل کر کے قدرتی اعداد پر پھیلتے ہیں۔ مکمل اعداد کا مجموعہ \(\mathbb{W}\) سے ظاہر ہوتا ہے اور اس میں \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) شامل ہوتا ہے۔ \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\) ۔ مکمل اعداد صفر کے اضافے کے ساتھ قدرتی اعداد کی تمام خصوصیات کو برقرار رکھتے ہیں، جو مقدار کی عدم موجودگی کو ظاہر کرتا ہے۔
عدد مکمل اعداد کے ساتھ منفی اعداد کو شامل کرکے دائرہ کار کو مزید وسیع کرتے ہیں۔ عدد کے سیٹ کو \(\mathbb{Z}\) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اس میں \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\) ۔ انٹیجرز کا استعمال ان مقداروں کی نمائندگی کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جو بڑھ سکتی ہیں (مثبت)، کمی (منفی)، یا وہی رہ سکتی ہیں (صفر)۔
ناطق اعداد میں وہ تمام اعداد شامل ہوتے ہیں جن کا اظہار دو عدد عدد کے ایک کسر یا تناسب کے طور پر کیا جا سکتا ہے، جہاں ڈینومینیٹر صفر نہیں ہوتا ہے۔ یہ مجموعہ \(\mathbb{Q}\) سے ظاہر ہوتا ہے اور اعداد کے ایک وسیع طیف پر محیط ہوتا ہے، بشمول فریکشن ( \(\frac{3}{4}\) )، عدد ( \(2\) ، جو کہ \(\frac{2}{1}\) )، اور اعشاریہ جو ختم ہوتے ہیں ( \(0.75\) ) یا دوبارہ ( \(0.\overline{3}\) )۔ ناطق اعداد مساوات کو پورا کرتے ہیں \( \frac{a}{b} \) جہاں \(a, b \in \mathbb{Z}\) اور \(b \neq 0\) ۔
غیر معقول اعداد وہ اعداد ہیں جن کو دو عدد کے تناسب کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ ان نمبروں میں غیر ختم ہونے والی، غیر دہرائی جانے والی اعشاریہ توسیع ہے۔ مشہور مثالوں میں \(\pi\) (تقریباً 3.14159) اور 2 کا مربع جڑ ( \(\sqrt{2}\) ، تقریباً 1.41421) شامل ہیں۔ ناطق اور غیر معقول نمبر کا مجموعہ یا پیداوار ہمیشہ غیر معقول ہوتا ہے۔
حقیقی اعداد ناطق اور غیر معقول دونوں نمبروں کو یکجا کرتے ہیں، مسلسل نمبر لائن کے ساتھ ہر ممکنہ نمبر کا احاطہ کرتے ہیں۔ حقیقی اعداد کے سیٹ کو \(\mathbb{R}\) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اس میں وہ تمام اقدار شامل ہوتی ہیں جو کسی لکیر کے ساتھ فاصلے کی نمائندگی کر سکتی ہیں، چاہے وہ مثبت ہو یا منفی سمت میں، یا صفر۔ حقیقی اعداد اوپر زیر بحث نمبروں کے پورے اسپیکٹرم کو گھیرے ہوئے ہیں۔
پیچیدہ اعداد وہ اعداد ہوتے ہیں جن میں ایک حقیقی حصہ اور ایک خیالی حصہ شامل ہوتا ہے۔ انہیں \(a + bi\) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں \(a\) اور \(b\) حقیقی اعداد ہیں، اور \(i\) اس خاصیت کے ساتھ خیالی اکائی ہے جو \(i^2 = -1\) کمپلیکس نمبرز ایک جہتی نمبر لائنوں کے تصور کو دو جہتی طیاروں تک پھیلاتے ہیں، جو تعداد کی خصوصیات اور عمل کی ایک بالکل نئی سطح کو متعارف کراتے ہیں۔
اعداد کی مختلف اقسام کے درمیان تعلق کو ایک خاکہ کے ذریعے تصور کیا جا سکتا ہے۔ یہ خاکہ پورے نمبروں کے اندر قدرتی اعداد کی شمولیت کو ظاہر کرتا ہے، جو بدلے میں عدد کے اندر شامل ہوتے ہیں۔ عدد، کسر اور بعض اعشاریوں کے ساتھ، ناطق اعداد بناتے ہیں، جبکہ غیر معقول اعداد الگ الگ کھڑے ہوتے ہیں۔ ناطق اور غیر معقول اعداد ایک ساتھ مل کر حقیقی اعداد بناتے ہیں۔ پیچیدہ اعداد، حقیقی اور خیالی حصوں پر مشتمل، پہلے بیان کردہ تمام زمروں کو ایک اعلیٰ جہت میں گھیرے ہوئے ہیں۔
1. قدرتی اور مکمل نمبر: اشیاء کی گنتی اور انوینٹری مینجمنٹ، آبادی کے مطالعہ، اور ابتدائی ریاضی میں مقدار کی نمائندگی کرنے میں استعمال ہوتا ہے۔
2. انٹیجرز: قرضوں (منفی عدد) اور اثاثوں (مثبت عدد) کی نمائندگی کرنے کے لیے مالی اکاؤنٹنگ میں لاگو کیا جاتا ہے، اور درجہ حرارت کے پیمانے میں، جہاں درجہ حرارت صفر سے کم ہوتا ہے۔
3. عقلی اعداد: کھانا پکانے، تعمیرات (طول و عرض، رقبہ) اور سائنسی حسابات میں مقداروں کی پیمائش کے لیے ضروری ہے جو مخصوص اعشاریہ کی جگہوں پر درستگی کی ضرورت ہوتی ہے۔
4. غیر معقول نمبر: جیومیٹری اور مثلثیات میں اہم، مثال کے طور پر، دائرے کے فریم کا حساب لگانے کے لیے ( \(C = 2\pi r\) ) غیر معقول نمبر کی ضرورت ہوتی ہے \(\pi\) ۔
5. حقیقی اعداد: کیلکولس اور فزکس میں بنیادی، جہاں حدود، تسلسل، اور حقیقی دنیا کی پیمائش کے تصورات کو حقیقی اعداد کے استعمال سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ فاصلے، رفتار اور قوتوں کی پیمائش میں حقیقی اعداد شامل ہوتے ہیں۔
6. پیچیدہ نمبر: الیکٹریکل انجینئرنگ میں سرکٹس، سگنل پروسیسنگ، اور کوانٹم میکینکس کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جہاں پیچیدہ نمبر مساوات کا استعمال کرتے ہوئے مظاہر کو بیان کیا جا سکتا ہے۔
نمبر سسٹم کو سمجھنا نہ صرف زیادہ جدید ریاضی کے مطالعہ کی بنیاد رکھتا ہے بلکہ سیکھنے والوں کو مختلف شعبوں میں عملی ایپلی کیشنز کی ایک وسیع رینج کو نیویگیٹ کرنے کے لیے ضروری ٹولز سے لیس کرتا ہے۔ یہ بنیادی علم دنیا کے بارے میں ہماری سمجھ کو مزید تقویت بخشتا ہے اور بہت سی ٹیکنالوجیز اور سائنسوں کو تقویت دیتا ہے جو ہمارے روزمرہ کے تجربات کو تشکیل دیتے ہیں۔
