La résolution de variables est un concept fondamental en algèbre et en mathématiques qui nous aide à trouver la valeur des inconnues dans les équations. Cette leçon couvre les bases de la résolution de variables, y compris les équations linéaires, les systèmes d'équations et les applications réelles.
En algèbre, une variable est un symbole (généralement une lettre) qui représente une valeur inconnue. Une équation est un énoncé mathématique qui affirme l'égalité de deux expressions. Résoudre une équation pour une variable signifie trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'équation vraie.
Les équations linéaires en une seule étape sont la forme d'équation la plus simple dans laquelle la variable peut être isolée en une seule opération. La forme générale est \(ax + b = c\) , où \(a\) , \(b\) et \(c\) sont des constantes.
Exemple:
\(x + 5 = 12\)
Pour résoudre, soustrayez 5 des deux côtés de l’équation :
\(x + 5 - 5 = 12 - 5\)
\(x = 7\)
Certaines équations nécessitent plus d'une étape pour isoler la variable. Cela implique d'utiliser des opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Exemple:
\(2x - 3 = 11\)
Tout d’abord, ajoutez 3 des deux côtés pour éliminer le -3 :
\(2x = 14\)
Ensuite, divisez par 2 pour isoler \(x\) :
\(x = 7\)
Les équations peuvent avoir des variables des deux côtés. Le but est d’avoir toutes les variables d’un côté et les constantes de l’autre.
Exemple:
\(3x + 4 = 2x + 10\)
Soustrayez \(2x\) des deux côtés :
\(x + 4 = 10\)
Soustrayez 4 des deux côtés pour isoler \(x\) :
\(x = 6\)
Lorsque les équations incluent des fractions, l'approche pour les résoudre reste la même, mais elle peut impliquer des étapes supplémentaires comme trouver un dénominateur commun ou multiplier les deux côtés de l'équation par le plus petit commun multiple pour éliminer les fractions.
Exemple:
\(\frac{1}{2}x + 3 = 7\)
Multipliez le tout par 2 pour éliminer la fraction :
\(x + 6 = 14\)
Soustrayez 6 des deux côtés :
\(x = 8\)
Lorsqu’il existe plusieurs équations avec plusieurs variables, nous avons un système d’équations linéaires. Le but est de trouver les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations du système.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des systèmes d'équations, notamment la substitution, l'élimination et la représentation graphique. Nous examinerons les méthodes de substitution et d'élimination.
La méthode de substitution consiste à résoudre l’une des équations pour une variable, puis à remplacer cette expression dans l’autre équation.
Exemple:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Résolvez la première équation pour \(x\) :
\(x = 6 - y\)
Remplacez \(x\) dans la deuxième équation :
\(6 - y - y = 2\)
Résoudre pour \(y\) :
\(2y = 4\)
\(y = 2\)
Remplacez \(y\) par \(x = 6 - y\) :
\(x = 4\)
La méthode d'élimination consiste à ajouter ou à soustraire les équations pour éliminer l'une des variables.
Exemple:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Ajoutez les équations pour éliminer \(y\) :
\(2x = 8\)
Résoudre pour \(x\) :
\(x = 4\)
Remplacez \(x\) dans l'une des équations d'origine pour résoudre \(y\) :
\(4 + y = 6\)
\(y = 2\)
La résolution de variables n'est pas seulement un exercice académique mais a des applications pratiques dans la vie quotidienne, du calcul des distances, de la vitesse et du temps de trajet à la budgétisation financière, et même dans des domaines plus complexes comme l'ingénierie et la physique.
Comprendre comment manipuler et résoudre des équations nous permet de faire des prédictions et de comprendre les relations entre différentes quantités dans notre monde.
