Att lösa variabler är ett grundläggande koncept inom algebra och matematik som hjälper oss att hitta värdet av okända i ekvationer. Den här lektionen täcker grunderna för att lösa variabler, inklusive linjära ekvationer, ekvationssystem och verkliga tillämpningar.
I algebra är en variabel en symbol (vanligtvis en bokstav) som representerar ett okänt värde. En ekvation är ett matematiskt påstående som hävdar att två uttryck är lika. Att lösa en ekvation för en variabel innebär att hitta alla värden på variabeln som gör ekvationen sann.
Enstegs linjära ekvationer är den enklaste formen av ekvationer där variabeln kan isoleras i en operation. Den allmänna formen är \(ax + b = c\) , där \(a\) , \(b\) , och \(c\) är konstanter.
Exempel:
\(x + 5 = 12\)
För att lösa, subtrahera 5 från båda sidor av ekvationen:
\(x + 5 - 5 = 12 - 5\)
\(x = 7\)
Vissa ekvationer kräver mer än ett steg för att isolera variabeln. Detta innebär att man använder operationer som addition, subtraktion, multiplikation och division.
Exempel:
\(2x - 3 = 11\)
Lägg först till 3 på båda sidor för att bli av med -3:
\(2x = 14\)
Dela sedan med 2 för att isolera \(x\) :
\(x = 7\)
Ekvationer kan ha variabler på båda sidor. Målet är att få alla variabler på ena sidan och konstanterna på den andra.
Exempel:
\(3x + 4 = 2x + 10\)
Subtrahera \(2x\) från båda sidor:
\(x + 4 = 10\)
Subtrahera 4 från båda sidor för att isolera \(x\) :
\(x = 6\)
När ekvationer inkluderar bråk, förblir metoden för att lösa dem densamma, men det kan innebära ytterligare steg som att hitta en gemensam nämnare eller multiplicera båda sidor av ekvationen med den minsta gemensamma multipeln för att eliminera bråk.
Exempel:
\(\frac{1}{2}x + 3 = 7\)
Multiplicera allt med 2 för att eliminera bråket:
\(x + 6 = 14\)
Subtrahera 6 från båda sidor:
\(x = 8\)
När det finns flera ekvationer med flera variabler har vi ett system med linjära ekvationer. Målet är att hitta värdena på de variabler som uppfyller alla ekvationer i systemet.
Det finns flera metoder för att lösa ekvationssystem, inklusive substitution, eliminering och grafer. Vi kommer att titta på ersättnings- och elimineringsmetoderna.
Substitutionsmetoden går ut på att lösa en av ekvationerna för en variabel och sedan ersätta det uttrycket med den andra ekvationen.
Exempel:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Lös den första ekvationen för \(x\) :
\(x = 6 - y\)
Ersätt \(x\) i den andra ekvationen:
\(6 - y - y = 2\)
Lös för \(y\) :
\(2y = 4\)
\(y = 2\)
Ersätt \(y\) tillbaka till \(x = 6 - y\) :
\(x = 4\)
Elimineringsmetoden innebär att man adderar eller subtraherar ekvationerna för att eliminera en av variablerna.
Exempel:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Lägg till ekvationerna för att eliminera \(y\) :
\(2x = 8\)
Lös för \(x\) :
\(x = 4\)
Ersätt \(x\) tillbaka i en av de ursprungliga ekvationerna för att lösa \(y\) :
\(4 + y = 6\)
\(y = 2\)
Att lösa variabler är inte bara en akademisk övning utan har praktiska tillämpningar i vardagen, från att beräkna avstånd, hastighet och tid på resor, till budgetering av ekonomi och även inom mer komplexa områden som teknik och fysik.
Att förstå hur man manipulerar och löser ekvationer gör att vi kan göra förutsägelser och förstå sambanden mellan olika storheter i vår värld.
