Розв’язування змінних — це базова концепція в алгебрі та математиці, яка допомагає нам знаходити значення невідомих у рівняннях. Цей урок охоплює основи розв’язування змінних, зокрема лінійних рівнянь, систем рівнянь і застосування в реальному житті.
В алгебрі змінна — це символ (зазвичай буква), який представляє невідоме значення. Рівняння — це математичне твердження, яке стверджує рівність двох виразів. Розв’язати рівняння для змінної означає знайти всі значення змінної, які роблять рівняння істинним.
Однокрокові лінійні рівняння є найпростішою формою рівнянь, де змінну можна виділити за одну операцію. Загальна форма така: \(ax + b = c\) , де \(a\) , \(b\) і \(c\) — константи.
приклад:
\(x + 5 = 12\)
Щоб вирішити, відніміть 5 від обох частин рівняння:
\(x + 5 - 5 = 12 - 5\)
\(x = 7\)
Деякі рівняння потребують більш ніж одного кроку для виділення змінної. Це передбачає використання таких операцій, як додавання, віднімання, множення та ділення.
приклад:
\(2x - 3 = 11\)
Спочатку додайте 3 до обох сторін, щоб позбутися -3:
\(2x = 14\)
Потім розділіть на 2, щоб виділити \(x\) :
\(x = 7\)
Рівняння можуть мати змінні з обох сторін. Мета полягає в тому, щоб отримати всі змінні з одного боку та константи з іншого.
приклад:
\(3x + 4 = 2x + 10\)
Відніміть \(2x\) з обох сторін:
\(x + 4 = 10\)
Відніміть 4 з обох сторін, щоб виділити \(x\) :
\(x = 6\)
Якщо рівняння містять дроби, підхід до їх розв’язування залишається незмінним, але він може включати додаткові кроки, як-от пошук спільного знаменника або множення обох частин рівняння на найменше спільне кратне, щоб виключити дроби.
приклад:
\(\frac{1}{2}x + 3 = 7\)
Помножте все на 2, щоб виключити дріб:
\(x + 6 = 14\)
Відняти 6 з обох сторін:
\(x = 8\)
Коли є кілька рівнянь із кількома змінними, ми маємо систему лінійних рівнянь. Мета полягає в тому, щоб знайти значення змінних, які задовольняють усі рівняння в системі.
Існує кілька методів розв’язування систем рівнянь, включаючи підстановку, виключення та побудову графіків. Ми розглянемо методи заміни та вилучення.
Метод підстановки передбачає розв’язування одного з рівнянь для однієї змінної, а потім підставлення цього виразу в інше рівняння.
приклад:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Розв’яжіть перше рівняння для \(x\) :
\(x = 6 - y\)
Підставляємо \(x\) у друге рівняння:
\(6 - y - y = 2\)
Розв’язати \(y\) :
\(2y = 4\)
\(y = 2\)
Замініть \(y\) назад у \(x = 6 - y\) :
\(x = 4\)
Метод елімінації передбачає додавання або віднімання рівнянь для виключення однієї зі змінних.
приклад:
\(System: \begin{cases} x + y = 6\ x - y = 2 \end{cases}\)
Додайте рівняння для виключення \(y\) :
\(2x = 8\)
Розв’язати \(x\) :
\(x = 4\)
Підставте \(x\) назад в одне з початкових рівнянь, щоб розв’язати \(y\) :
\(4 + y = 6\)
\(y = 2\)
Розв’язування змінних — це не лише академічна вправа, а й практичне застосування в повсякденному житті, від обчислення відстані, швидкості та часу в дорозі до бюджетування фінансів і навіть у більш складних галузях, як-от інженерія та фізика.
Розуміння того, як маніпулювати рівняннями та розв’язувати їх, дозволяє нам робити прогнози та розуміти зв’язки між різними величинами в нашому світі.
