Деньги служат средством обмена, расчетной единицей, средством сбережения и стандартом отсрочки платежа. Математика играет фундаментальную роль в понимании денег и работе с ними, от базовых транзакций до более сложных финансовых концепций. На этом уроке будет рассмотрена математическая природа денег, начиная с простых концепций и переходя к более сложным, попутно приводя примеры и эксперименты.
Подсчет денег предполагает распознавание и сложение стоимости монет и купюр. Самая основная операция — это сложение, при котором мы суммируем значения разных номиналов, чтобы найти общую сумму.
Пример: предположим, что у нас есть 3 однодолларовые купюры, 2 четвертака (каждая по 0,25 доллара) и 5 десятицентовиков (каждая по 0,10 доллара). Общую сумму можно рассчитать следующим образом:
\(3 \times 1.00 + 2 \times 0.25 + 5 \times 0.10 = 3.00 + 0.50 + 0.50 = 4.00\)Общая сумма составляет 4,00 доллара США.
В деньгах часто используются десятичные дроби, особенно когда вместе с долларами считаются центы. Понимание десятичной системы имеет решающее значение для точного обращения с деньгами.
Пример. Если товар стоит 2,95 доллара США, а вы платите счетом в 5 долларов США, сдачу к получению можно рассчитать с помощью вычитания:
\(5.00 - 2.95 = 2.05\)Сдача, которую необходимо получить, составляет 2,05 доллара.
Умножение и деление используются при работе с несколькими статьями или при разделении затрат. Они помогают понять, как деньги растут с течением времени и при различных сценариях их совместного использования или сбережения.
Пример умножения: если вы покупаете 4 ноутбука, каждый из которых стоит 1,75 доллара США, общая стоимость определяется по формуле:
\(4 \times 1.75 = 7.00\)Пример разделения: если вы и трое друзей делите стоимость пиццы стоимостью 10 долларов, доля каждого человека рассчитывается как:
\(10.00 \div 4 = 2.50\)Каждый человек платит 2,50 доллара.
Проценты широко используются в финансовых операциях, особенно при расчете скидок, налога с продаж и процентных ставок.
Пример расчета скидки: если на куртку стоимостью 50 долларов действует скидка 20 %, сумма скидки составит:
\(50.00 \times \frac{20}{100} = 50.00 \times 0.20 = 10.00\)Новая цена после скидки составит:
\(50.00 - 10.00 = 40.00\)Пример расчета налога с продаж: если ставка налога с продаж составляет 7% и вы покупаете товары на общую сумму 30 долларов США, сумма налога составит:
\(30.00 \times \frac{7}{100} = 30.00 \times 0.07 = 2.10\)Общая сумма к уплате, включая налог с продаж, составит:
\(30.00 + 2.10 = 32.10\)Простые проценты — это способ расчета роста инвестиций или кредита с течением времени. Его находят по формуле:
\(I = P \times r \times t\)где \(I\) — полученные проценты, \(P\) — основная сумма, \(r\) — годовая процентная ставка, а \(t\) — время в годах.
Пример: если вы инвестируете 1000 долларов США под годовую процентную ставку 5% на срок 3 года, полученные проценты рассчитываются как:
\(I = 1000 \times 0.05 \times 3 = 150\)Общая сумма через 3 года будет равна сумме основного долга и процентов:
\(1000 + 150 = 1150\)Ваши инвестиции вырастут до $1150 через 3 года.
Сложные проценты — это проценты по кредиту или депозиту, рассчитываемые на основе первоначальной основной суммы и накопленных процентов за предыдущие периоды. Это позволяет деньгам расти более быстрыми темпами по сравнению с простыми процентами.
Чтобы понять силу сложных процентов, сравните их с простыми процентами за тот же период. Если первоначальная сумма в 1000 долларов инвестируется под годовую процентную ставку 5% на 5 лет, разница может быть значительной.
Формула сложных процентов при ежегодном начислении процентов выглядит следующим образом:
\(A = P(1 + r)^t\)где \(A\) — сумма через \(t\) лет, \(P\) — основная сумма, \(r\) — годовая процентная ставка, а \(t\) — время в годах.
Использование формулы сложных процентов для нашего примера:
\(A = 1000(1 + 0.05)^5 \approx 1276.28\)Для сравнения, с простыми процентами сумма через 5 лет составит:
\(1150\)Этот эксперимент показывает, как сложные проценты могут значительно увеличить рост денег с течением времени по сравнению с простыми процентами.
