Polygone sind zweidimensionale Formen, die aus geraden Linien bestehen. Diese Linien werden als Seiten des Polygons bezeichnet, und die Punkte, an denen sich zwei Seiten treffen, werden als Eckpunkte bezeichnet. Das einfachste Polygon ist ein Dreieck mit drei Seiten, während komplexere Polygone mehr Seiten und Eckpunkte haben.
Arten von Polygonen
Regelmäßige und unregelmäßige Polygone
- Bei regelmäßigen Polygonen sind alle Seiten und Winkel gleich. Beispiele hierfür sind gleichseitige Dreiecke und Quadrate. - Bei unregelmäßigen Polygonen sind nicht alle Seiten und Winkel gleich. Ein Beispiel hierfür wäre ein Rechteck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleich sind, aber nicht alle Seiten.
Konvexe und konkave Polygone
- Ein Polygon ist konvex, wenn alle seine Innenwinkel kleiner als \(180^\circ\) sind und kein Liniensegment zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Grenze jemals außerhalb des Polygons verläuft. - Ein Polygon ist konkav, wenn mindestens ein Liniensegment zwischen zwei Punkten auf der Grenze außerhalb des Polygons liegt.
Einfache und komplexe Polygone
– Die Seiten eines einfachen Polygons schneiden sich nur an ihren Endpunkten. – Die Seiten eines komplexen Polygons schneiden sich.
Polygone benennen
Polygone werden nach der Anzahl ihrer Seiten benannt. - Dreieck (3 Seiten) - Viereck (4 Seiten) - Fünfeck (5 Seiten) - Sechseck (6 Seiten) - Siebeneck (7 Seiten) - Achteck (8 Seiten) - Neuneck (9 Seiten) - Zehneck (10 Seiten) Bei Polygonen mit mehr Seiten besteht das Benennungsschema normalerweise aus einem Ziffernpräfix gefolgt von „-gon“, z. B. „Zwölfeck“ für ein 12-seitiges Polygon.
Eigenschaften von Polygonen
Winkel
Die Summe der Innenwinkel eines Polygons mit \(n\) Seiten kann mithilfe der Formel ermittelt werden: \( \textrm{Summe der Innenwinkel} = (n - 2) \times 180^\circ \) Bei regelmäßigen Polygonen kann jeder Innenwinkel ermittelt werden, indem die Summe durch die Anzahl der Seiten \(n\) geteilt wird. \( \textrm{Innenwinkel} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
Seiten
Bei einem regelmäßigen Polygon sind alle Seiten gleich lang. Bei einem unregelmäßigen Polygon können die Seiten unterschiedlich lang sein.
Diagonalen
Die Anzahl der Diagonalen in einem Polygon mit \(n\) Seiten ist gegeben durch: \( \textrm{Anzahl der Diagonalen} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Umfang und Fläche
– Der Umfang eines Polygons ist die Summe der Längen seiner Seiten. – Die Flächenformel variiert je nach Polygontyp. Beispiel: – Die Fläche eines Rechtecks beträgt \(length \times width\) . – Für ein regelmäßiges Polygon kann die Fläche wie folgt berechnet werden: \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) wobei \(n\) die Anzahl der Seiten und \(s\) die Länge einer Seite ist.
Beispiele und Experimente
Beispiel 1: Berechnung der Summe der Innenwinkel
Ein Sechseck hat 6 Seiten. Mit der Formel \((n - 2) \times 180^\circ\) berechnen wir die Summe der Innenwinkel: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Beispiel 2: Anzahl der Diagonalen in einem Fünfeck ermitteln
Ein Fünfeck hat 5 Seiten. Mit der Formel \(\frac{n(n - 3)}{2}\) berechnen wir die Anzahl der Diagonalen: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Diese Beispiele verdeutlichen die Eigenschaften und Berechnungen, die mit einfachen Formeln für Polygone durchgeführt werden können.
