چند ضلعی ها

چند ضلعی ها

مقدمه ای بر چند ضلعی ها

چند ضلعی ها اشکال دو بعدی هستند که توسط خطوط مستقیم تشکیل می شوند. این خطوط اضلاع چند ضلعی نامیده می شوند و نقاطی که دو ضلع به هم می رسند به عنوان رئوس شناخته می شوند. ساده ترین چند ضلعی مثلثی با سه ضلع است، در حالی که چند ضلعی های پیچیده تر اضلاع و رئوس بیشتری دارند.

انواع چند ضلعی

چند ضلعی منتظم و نامنظم

- چند ضلعی های منتظم همه ضلع ها و زوایا برابر هستند. به عنوان مثال می توان به مثلث متساوی الاضلاع و مربع اشاره کرد. - چند ضلعی های نامنظم همه اضلاع و زوایا برابر نیستند. یک مثال ممکن است یک مستطیل باشد، که در آن اضلاع مقابل برابر هستند اما نه همه اضلاع.

چند ضلعی های محدب و مقعر

- یک چند ضلعی محدب است اگر تمام زوایای داخلی آن کمتر از \(180^\circ\) باشد و هیچ پاره خطی بین هر دو نقطه در مرز خارج از چند ضلعی نباشد. - یک چند ضلعی مقعر است اگر حداقل یک پاره خط بین دو نقطه در مرزی که خارج از چند ضلعی قرار دارد وجود داشته باشد.

چند ضلعی های ساده و پیچیده

- اضلاع یک چند ضلعی ساده به جز در نقاط انتهایی خود تلاقی نمی کنند. - یک چند ضلعی پیچیده اضلاع دارد که همدیگر را قطع می کنند.

نامگذاری چند ضلعی ها

چند ضلعی ها با توجه به تعداد ضلعی که دارند نامگذاری می شوند. - مثلث (3 ضلع) - چهار ضلعی (4 ضلع) - پنج ضلعی (5 ضلع) - شش ضلعی (6 ضلع) - هفت ضلعی (7 ضلع) - هشت ضلعی (8 ضلع) - غیر ضلعی (9 ضلع) - ده ضلعی (10 ضلعی) برای چند ضلعی با اضلاع بیشتر، طرح نامگذاری معمولاً شامل یک پیشوند عددی و به دنبال آن "-gon" است، مانند "دوده ضلعی" برای یک چند ضلعی 12 وجهی.

ویژگی های چند ضلعی

زاویه

مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی با اضلاع \(n\) می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: \( \textrm{مجموع زوایای داخلی} = (n - 2) \times 180^\circ \) برای چند ضلعی های منظم ، هر زاویه داخلی را می توان با تقسیم مجموع بر تعداد ضلع \(n\) پیدا کرد. \( \textrm{زاویه داخلی} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)

طرفین

در یک چند ضلعی منتظم، تمام ضلع ها دارای طول یکسان هستند. در یک چند ضلعی نامنظم، اضلاع می توانند طول های متفاوتی داشته باشند.

مورب ها

تعداد مورب ها در یک چند ضلعی از ضلع های \(n\) به دست می آید: \( \textrm{تعداد مورب ها} = \frac{n(n - 3)}{2} \)

محیط و مساحت

- محیط چند ضلعی مجموع طول اضلاع آن است. - فرمول مساحت بر اساس نوع چند ضلعی متفاوت است. به عنوان مثال: - مساحت یک مستطیل \(length \times width\) است. - برای یک چند ضلعی منظم، مساحت را می توان به صورت \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) محاسبه کرد که در آن \(n\) تعداد اضلاع و \(s\) طول یک ضلع است.

نمونه ها و آزمایش ها

مثال 1: محاسبه مجموع زوایای داخلی

یک شش ضلعی 6 ضلع دارد. با استفاده از فرمول \((n - 2) \times 180^\circ\) ، مجموع زوایای داخلی را پیدا می کنیم: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)

مثال 2: یافتن تعداد قطرهای یک پنتاگون

یک پنج ضلعی دارای 5 ضلع است. با استفاده از فرمول \(\frac{n(n - 3)}{2}\) تعداد قطرها را محاسبه می‌کنیم: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) این مثال‌ها نشان می‌دهند خواص و محاسباتی که می توان در مورد چند ضلعی ها با استفاده از فرمول های ساده انجام داد.