Les polygones sont des formes bidimensionnelles formées de lignes droites. Ces lignes sont appelées côtés du polygone, et les points de rencontre de deux côtés sont appelés sommets. Le polygone le plus simple est un triangle à trois côtés, tandis que les polygones plus complexes ont plus de côtés et de sommets.
Types de polygones
Polygones réguliers et irréguliers
- Les polygones réguliers ont tous les côtés et angles égaux. Les exemples incluent les triangles équilatéraux et les carrés. - Les polygones irréguliers n'ont pas tous les côtés et angles égaux. Un exemple pourrait être un rectangle dont les côtés opposés sont égaux mais pas tous les côtés.
Polygones convexes et concaves
- Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs sont inférieurs à \(180^\circ\) et qu'aucun segment de ligne entre deux points quelconques de la frontière ne sort du polygone. - Un polygone est concave s'il y a au moins un segment de droite entre deux points de la limite située à l'extérieur du polygone.
Polygones simples et complexes
- Les côtés d'un polygone simple ne se coupent qu'à leurs extrémités. - Un polygone complexe a des côtés qui se coupent.
Nommer les polygones
Les polygones sont nommés en fonction du nombre de côtés qu'ils possèdent. - Triangle (3 côtés) - Quadrilatère (4 côtés) - Pentagone (5 côtés) - Hexagone (6 côtés) - Heptagone (7 côtés) - Octogone (8 côtés) - Nonagone (9 côtés) - Décagone (10 côtés) Pour les polygones avec plus de côtés, le schéma de dénomination implique généralement un préfixe numérique suivi de « -gon », comme un « dodécagone » pour un polygone à 12 côtés.
Propriétés des polygones
Angles
La somme des angles intérieurs d'un polygone avec \(n\) côtés peut être trouvée à l'aide de la formule : \( \textrm{Somme des angles intérieurs} = (n - 2) \times 180^\circ \) Pour les polygones réguliers , chaque angle intérieur peut être trouvé en divisant la somme par le nombre de côtés \(n\) . \( \textrm{Angle intérieur} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
Côtés
Dans un polygone régulier, tous les côtés sont de même longueur. Dans un polygone irrégulier, les côtés peuvent avoir des longueurs différentes.
Diagonales
Le nombre de diagonales dans un polygone de \(n\) côtés est donné par : \( \textrm{Nombre de diagonales} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Périmètre et superficie
- Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. - La formule de superficie varie en fonction du type de polygone. Par exemple : - L'aire d'un rectangle est \(length \times width\) . - Pour un polygone régulier, la superficie peut être calculée comme \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) où \(n\) est le nombre de côtés et \(s\) est la longueur d'un côté.
Exemples et expériences
Exemple 1 : Calcul de la somme des angles intérieurs
Un hexagone a 6 côtés. En utilisant la formule \((n - 2) \times 180^\circ\) , on trouve la somme des angles intérieurs : \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Exemple 2 : Trouver le nombre de diagonales dans un Pentagone
Un pentagone a 5 côtés. A l'aide de la formule \(\frac{n(n - 3)}{2}\) , on calcule le nombre de diagonales : \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Ces exemples illustrent les propriétés et les calculs qui peuvent être effectués sur les polygones à l'aide de formules simples.
