बहुभुज

बहुभुज

बहुभुज का परिचय

बहुभुज सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित 2-आयामी आकृतियाँ हैं। इन रेखाओं को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है, और वे बिंदु जहाँ दो भुजाएँ मिलती हैं उन्हें शीर्ष कहते हैं। सबसे सरल बहुभुज तीन भुजाओं वाला एक त्रिभुज होता है, जबकि अधिक जटिल बहुभुजों में अधिक भुजाएँ और शीर्ष होते हैं।

बहुभुज के प्रकार

नियमित और अनियमित बहुभुज

- नियमित बहुभुजों में सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। उदाहरणों में समबाहु त्रिभुज और वर्ग शामिल हैं। - अनियमित बहुभुजों में सभी भुजाएँ और कोण बराबर नहीं होते। इसका एक उदाहरण आयत हो सकता है, जहाँ विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं लेकिन सभी भुजाएँ बराबर नहीं होतीं।

उत्तल और अवतल बहुभुज

- एक बहुभुज उत्तल होता है यदि उसके सभी आंतरिक कोण \(180^\circ\) से कम हों और सीमा पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच कोई रेखाखंड कभी भी बहुभुज के बाहर नहीं जाता है। - एक बहुभुज अवतल होता है यदि सीमा पर दो बिंदुओं के बीच कम से कम एक रेखाखंड बहुभुज के बाहर स्थित हो।

सरल और जटिल बहुभुज

- एक सरल बहुभुज की भुजाएं अपने अंत बिंदुओं को छोड़कर कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। - एक जटिल बहुभुज की भुजाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

बहुभुजों का नामकरण

बहुभुजों का नामकरण उनकी भुजाओं की संख्या के आधार पर किया जाता है। - त्रिभुज (3 भुजाएँ) - चतुर्भुज (4 भुजाएँ) - पंचभुज (5 भुजाएँ) - षट्भुज (6 भुजाएँ) - सप्तभुज (7 भुजाएँ) - अष्टभुज (8 भुजाएँ) - नौभुज (9 भुजाएँ) - दशभुज (10 भुजाएँ) अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के लिए, नामकरण योजना में आमतौर पर एक अंक उपसर्ग के बाद "-भुज" लगाया जाता है, जैसे कि 12-भुजों वाले बहुभुज के लिए "द्वादशभुज"।

बहुभुज के गुण

एंगल्स

\(n\) भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: \( \textrm{आंतरिक कोणों का योग} = (n - 2) \times 180^\circ \) नियमित बहुभुजों के लिए, प्रत्येक आंतरिक कोण को भुजाओं की संख्या \(n\) से योग को विभाजित करके पाया जा सकता है \( \textrm{आंतरिक कोण} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)

पक्षों

एक नियमित बहुभुज में, सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। एक अनियमित बहुभुज में, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग हो सकती है।

विकर्णों

\(n\) भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या इस प्रकार दी गई है: \( \textrm{विकर्णों की संख्या} = \frac{n(n - 3)}{2} \)

परिमाप और क्षेत्रफल

- किसी बहुभुज का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाई का योग होता है। - क्षेत्रफल का सूत्र बहुभुज के प्रकार के आधार पर भिन्न होता है। उदाहरण के लिए: - एक आयत का क्षेत्रफल \(length \times width\) है। - एक नियमित बहुभुज के लिए, क्षेत्रफल की गणना \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) जा सकती है, जहाँ \(n\) भुजाओं की संख्या है और \(s\) एक भुजा की लंबाई है।

उदाहरण और प्रयोग

उदाहरण 1: आंतरिक कोणों का योग निकालना

एक षट्भुज में 6 भुजाएँ होती हैं। सूत्र \((n - 2) \times 180^\circ\) उपयोग करके, हम आंतरिक कोणों का योग ज्ञात करते हैं: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)

उदाहरण 2: पंचभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करना

एक पंचभुज में 5 भुजाएँ होती हैं। सूत्र \(\frac{n(n - 3)}{2}\) उपयोग करके, हम विकर्णों की संख्या की गणना करते हैं: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) ये उदाहरण सरल सूत्रों का उपयोग करके बहुभुजों के बारे में किए जा सकने वाले गुणों और गणनाओं को दर्शाते हैं।