ポリゴン

ポリゴン

ポリゴン入門

多角形は直線で形成される 2 次元の形状です。これらの線は多角形の辺と呼ばれ、2 つの辺が交わる点は頂点と呼ばれます。最も単純な多角形は 3 辺の三角形ですが、より複雑な多角形にはより多くの辺と頂点があります。

多角形の種類

正多角形と不規則多角形

- 正多角形は、すべての辺と角度が等しいです。例としては、正三角形や正方形があります。 - 不規則な多角形は、すべての辺と角度が等しくありません。例としては、向かい合う辺は等しいが、すべての辺が等しいわけではない長方形があります。

凸多角形と凹多角形

- 多角形のすべての内角が\(180^\circ\)未満であり、境界上の任意の 2 点間の線分が多角形の外側に出ない場合、多角形は凸型です。 - 境界上の 2 点間の線分が少なくとも 1 つ多角形の外側にある場合、多角形は凹型です。

単純な多角形と複雑な多角形

- 単純な多角形の辺は、端点以外では交差しません。 - 複雑な多角形には交差する辺があります。

ポリゴンの命名

多角形は、その辺の数に応じて名前が付けられます。 - 三角形 (3 辺) - 四辺形 (4 辺) - 五角形 (5 辺) - 六角形 (6 辺) - 七角形 (7 辺) - 八角形 (8 辺) - 九角形 (9 辺) - 十角形 (10 辺) より多くの辺を持つ多角形の場合、命名規則では通常、12 辺の多角形の場合は「dodecagon」のように、数字の接頭辞に「-gon」が付きます。

多角形の特性

角度

\(n\)辺を持つ多角形の内角の合計は、次の式で求められます: \( \textrm{内角の合計} = (n - 2) \times 180^\circ \)正多角形の場合、各内角は合計を辺の数\(n\)で割ることで求められます。 \( \textrm{内角} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)

サイド

正多角形の場合、すべての辺の長さは同じです。不規則な多角形の場合、辺の長さは異なる場合があります。

対角線

\(n\)辺の多角形の対角線の数は次のように表されます: \( \textrm{対角線の数} = \frac{n(n - 3)}{2} \)

周囲と面積

- 多角形の周囲は、各辺の長さの合計です。 - 面積の計算式は、多角形の種類によって異なります。例: - 長方形の面積は\(length \times width\)です。 - 正多角形の場合、面積\(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\)として計算できます。ここで、 \(n\)は辺の数、 \(s\) 1 辺の長さです。

例と実験

例1: 内角の合計を計算する

六角形には 6 つの辺があります。式\((n - 2) \times 180^\circ\)を使用して、内角の合計を求めます: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)

例 2: 五角形の対角線の数を求める

五角形には 5 つの辺があります。式\(\frac{n(n - 3)}{2}\)を使用して、対角線の個数を計算します: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \)これらの例は、簡単な式を使用して多角形について行うことができる特性と計算を示しています。