Wielokąty to dwuwymiarowe kształty utworzone przez linie proste. Linie te nazywane są bokami wielokąta, a punkty, w których spotykają się dwa boki, nazywane są wierzchołkami. Najprostszym wielokątem jest trójkąt z trzema bokami, podczas gdy bardziej złożone wielokąty mają więcej boków i wierzchołków.
Rodzaje wielokątów
Wielokąty regularne i nieregularne
- Wielokąty foremne mają wszystkie boki i kąty równe. Przykładami są trójkąty równoboczne i kwadraty. - Nieregularne wielokąty nie mają wszystkich boków i kątów równych. Przykładem może być prostokąt, w którym przeciwne strony są równe, ale nie wszystkie.
Wielokąty wypukłe i wklęsłe
- Wielokąt jest wypukły, jeśli wszystkie jego kąty wewnętrzne są mniejsze niż \(180^\circ\) i żaden odcinek linii pomiędzy dowolnymi dwoma punktami na granicy nie wychodzi poza wielokąt. - Wielokąt jest wklęsły, jeśli pomiędzy dwoma punktami na granicy, która leży na zewnątrz wielokąta, znajduje się co najmniej jeden odcinek linii.
Proste i złożone wielokąty
- Boki prostego wielokąta przecinają się tylko w punktach końcowych. - Złożony wielokąt ma boki, które się przecinają.
Nazywanie wielokątów
Nazwy wielokątów zależą od liczby ich boków. - Trójkąt (3 boki) - Czworokąt (4 boki) - Pięciokąt (5 boków) - Sześciokąt (6 boków) - Siedmiokąt (7 boków) - Ośmiokąt (8 boków) - Nonagon (9 boków) - Dekagon (10 boków) Do wielokątów w przypadku większej liczby boków schemat nazewnictwa zwykle obejmuje przedrostek cyfrowy, po którym następuje „-gon”, na przykład „dwunastokąt” w przypadku wielokąta 12-bocznego.
Właściwości wielokątów
Kąty
Sumę kątów wewnętrznych wielokąta o \(n\) bokach można obliczyć ze wzoru: \( \textrm{Suma kątów wewnętrznych} = (n - 2) \times 180^\circ \) Dla wielokątów foremnych , każdy kąt wewnętrzny można znaleźć, dzieląc sumę przez liczbę boków \(n\) . \( \textrm{Kąt wewnętrzny} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
boki
W wielokącie foremnym wszystkie boki mają jednakową długość. W nieregularnym wielokącie boki mogą mieć różną długość.
Przekątne
Liczbę przekątnych w wielokącie o \(n\) bokach podaje się wzorem: \( \textrm{Liczba przekątnych} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Obwód i powierzchnia
- Obwód wielokąta to suma długości jego boków. - Wzór na pole powierzchni różni się w zależności od typu wielokąta. Na przykład: - Pole prostokąta wynosi \(length \times width\) . - W przypadku wielokąta foremnego pole można obliczyć jako \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) gdzie \(n\) to liczba boków, a \(s\) to długość jednego boku.
Przykład 2: Znajdowanie liczby przekątnych w pięciokącie
Pięciokąt ma 5 boków. Korzystając ze wzoru \(\frac{n(n - 3)}{2}\) obliczamy liczbę przekątnych: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Poniższe przykłady ilustrują właściwości i obliczenia, które można wykonać na temat wielokątów za pomocą prostych wzorów.
