Polígonos são formas bidimensionais formadas por linhas retas. Essas linhas são chamadas de lados do polígono, e os pontos onde dois lados se encontram são conhecidos como vértices. O polígono mais simples é um triângulo com três lados, enquanto os polígonos mais complexos têm mais lados e vértices.
Tipos de polígonos
Polígonos Regulares e Irregulares
- Polígonos regulares têm todos os lados e ângulos iguais. Os exemplos incluem triângulos equiláteros e quadrados. - Polígonos irregulares não possuem todos os lados e ângulos iguais. Um exemplo pode ser um retângulo, onde os lados opostos são iguais, mas nem todos os lados.
Polígonos convexos e côncavos
- Um polígono é convexo se todos os seus ângulos internos forem menores que \(180^\circ\) e nenhum segmento de linha entre dois pontos quaisquer na fronteira sai do polígono. - Um polígono é côncavo se houver pelo menos um segmento de reta entre dois pontos na fronteira que fica fora do polígono.
Polígonos Simples e Complexos
- Os lados de um polígono simples não se cruzam, exceto nas extremidades. - Um polígono complexo possui lados que se cruzam.
Nomeando Polígonos
Os polígonos são nomeados de acordo com o número de lados que possuem. - Triângulo (3 lados) - Quadrilátero (4 lados) - Pentágono (5 lados) - Hexágono (6 lados) - Heptágono (7 lados) - Octógono (8 lados) - Nonagon (9 lados) - Decágono (10 lados) Para polígonos com mais lados, o esquema de nomenclatura geralmente envolve um prefixo numérico seguido por "-gon", como um "dodecágono" para um polígono de 12 lados.
Propriedades de polígonos
Ângulos
A soma dos ângulos internos de um polígono com \(n\) lados pode ser encontrada usando a fórmula: \( \textrm{Soma dos ângulos internos} = (n - 2) \times 180^\circ \) Para polígonos regulares , cada ângulo interno pode ser encontrado dividindo a soma pelo número de lados \(n\) . \( \textrm{Ângulo interno} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
Lados
Em um polígono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento. Em um polígono irregular, os lados podem ter comprimentos diferentes.
Diagonais
O número de diagonais em um polígono de \(n\) lados é dado por: \( \textrm{Número de diagonais} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Perímetro e Área
- O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos dos seus lados. - A fórmula da área varia de acordo com o tipo de polígono. Por exemplo: - A área de um retângulo é \(length \times width\) . - Para um polígono regular, a área pode ser calculada como \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) onde \(n\) é o número de lados e \(s\) é o comprimento de um lado.
Exemplos e experimentos
Exemplo 1: Calculando a Soma dos Ângulos Internos
Um hexágono tem 6 lados. Usando a fórmula \((n - 2) \times 180^\circ\) , encontramos a soma dos ângulos internos: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Exemplo 2: Encontrando o número de diagonais em um Pentágono
Um pentágono tem 5 lados. Usando a fórmula \(\frac{n(n - 3)}{2}\) , calculamos o número de diagonais: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Esses exemplos ilustram as propriedades e cálculos que podem ser feitos sobre polígonos usando fórmulas simples.
