Многоугольники — это двумерные фигуры, образованные прямыми линиями. Эти линии называются сторонами многоугольника, а точки пересечения двух сторон — вершинами. Самый простой многоугольник — это треугольник с тремя сторонами, а более сложные многоугольники имеют больше сторон и вершин.
Типы полигонов
Правильные и неправильные многоугольники
- У правильных многоугольников все стороны и углы равны. Примеры включают равносторонние треугольники и квадраты. - У неправильных многоугольников не все стороны и углы равны. Примером может быть прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, но не все стороны.
Выпуклые и вогнутые многоугольники
- Многоугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше \(180^\circ\) и ни один отрезок между любыми двумя точками на границе никогда не выходит за пределы многоугольника. - Многоугольник является вогнутым, если между двумя точками на границе есть хотя бы один отрезок линии, лежащий за пределами многоугольника.
Простые и сложные многоугольники
— Стороны простого многоугольника пересекаются только в своих конечных точках. - У сложного многоугольника есть пересекающиеся стороны.
Именование полигонов
Многоугольники называются по количеству сторон. - Треугольник (3 стороны) - Четырехугольник (4 стороны) - Пятиугольник (5 сторон) - Шестиугольник (6 сторон) - Семиугольник (7 сторон) - Восьмиугольник (8 сторон) - Неугольник (9 сторон) - Десятиугольник (10 сторон) Для многоугольников с большим количеством сторон схема именования обычно включает цифровой префикс, за которым следует «-gon», например «додекагон» для 12-стороннего многоугольника.
Свойства многоугольников
Углы
Сумму внутренних углов многоугольника с \(n\) сторонами можно найти по формуле: \( \textrm{Сумма внутренних углов} = (n - 2) \times 180^\circ \) Для правильных многоугольников , каждый внутренний угол можно найти, разделив сумму на количество сторон \(n\) . \( \textrm{Внутренний угол} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
Стороны
В правильном многоугольнике все стороны имеют одинаковую длину. В неправильном многоугольнике стороны могут иметь разную длину.
Диагонали
Число диагоналей в многоугольнике с \(n\) сторонами определяется по формуле: \( \textrm{Количество диагоналей} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Периметр и площадь
- Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. - Формула площади варьируется в зависимости от типа многоугольника. Например: - Площадь прямоугольника равна \(length \times width\) . - Для правильного многоугольника площадь можно рассчитать как \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) где \(n\) — количество сторон, а \(s\) — длина одной стороны.
Примеры и эксперименты
Пример 1. Вычисление суммы внутренних углов
У шестиугольника 6 сторон. Используя формулу \((n - 2) \times 180^\circ\) , находим сумму внутренних углов: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Пример 2. Нахождение количества диагоналей в пятиугольнике
У пятиугольника 5 сторон. Используя формулу \(\frac{n(n - 3)}{2}\) , вычисляем количество диагоналей: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Эти примеры иллюстрируют свойства и расчеты многоугольников, которые можно выполнить с помощью простых формул.
