Polygoner är tvådimensionella former som bildas av raka linjer. Dessa linjer kallas polygonens sidor, och punkterna där två sidor möts kallas hörn. Den enklaste polygonen är en triangel med tre sidor, medan mer komplexa polygoner har fler sidor och hörn.
Typer av polygoner
Regelbundna och oregelbundna polygoner
- Regelbundna polygoner har alla sidor och vinklar lika. Exempel inkluderar liksidiga trianglar och kvadrat. - Oregelbundna polygoner har inte alla sidor och vinklar lika. Ett exempel kan vara en rektangel, där motsatta sidor är lika men inte alla sidor.
Konvexa och konkava polygoner
- En polygon är konvex om alla dess inre vinklar är mindre än \(180^\circ\) och inget linjesegment mellan två punkter på gränsen någonsin går utanför polygonen. - En polygon är konkav om det finns minst ett linjesegment mellan två punkter på gränsen som ligger utanför polygonen.
Enkla och komplexa polygoner
- En enkel polygons sidor skär inte varandra förutom vid deras ändpunkter. - En komplex polygon har sidor som skär varandra.
Namnge polygoner
Polygoner namnges efter antalet sidor de har. - Triangel (3 sidor) - Fyrkant (4 sidor) - Pentagon (5 sidor) - Hexagon (6 sidor) - Heptagon (7 sidor) - Oktagon (8 sidor) - Nonagon (9 sidor) - Dekagon (10 sidor) För polygoner med fler sidor involverar namngivningsschemat vanligtvis ett numeriskt prefix följt av "-gon", såsom en "dodekagon" för en 12-sidig polygon.
Polygoners egenskaper
Vinklar
Summan av de inre vinklarna i en polygon med \(n\) sidor kan hittas med formeln: \( \textrm{Summan av invändiga vinklar} = (n - 2) \times 180^\circ \) För regelbundna polygoner , varje inre vinkel kan hittas genom att dividera summan med antalet sidor \(n\) . \( \textrm{Invändig vinkel} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
Sidor
I en vanlig polygon är alla sidor lika långa. I en oregelbunden polygon kan sidorna ha olika längd.
Diagonaler
Antalet diagonaler i en polygon med \(n\) sidor ges av: \( \textrm{Antal diagonaler} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Omkrets och område
- En polygons omkrets är summan av längderna på dess sidor. - Areaformeln varierar beroende på typen av polygon. Till exempel: - Arean av en rektangel är \(length \times width\) . - För en vanlig polygon kan arean beräknas som \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) där \(n\) är antalet sidor och \(s\) är längden på en sida.
Exempel och experiment
Exempel 1: Beräkna summan av inre vinklar
En hexagon har 6 sidor. Med formeln \((n - 2) \times 180^\circ\) hittar vi summan av inre vinklar: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Exempel 2: Hitta antalet diagonaler i en Pentagon
En femhörning har 5 sidor. Med formeln \(\frac{n(n - 3)}{2}\) beräknar vi antalet diagonaler: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Dessa exempel illustrerar de egenskaper och beräkningar som kan göras om polygoner med enkla formler.
