Багатокутники — це двовимірні фігури, утворені прямими лініями. Ці лінії називаються сторонами багатокутника, а точки, де зустрічаються дві сторони, називаються вершинами. Найпростішим многокутником є трикутник з трьома сторонами, а більш складні багатокутники мають більше сторін і вершин.
Типи багатокутників
Правильні та неправильні многокутники
- У правильних многокутників усі сторони й кути рівні. Приклади включають рівносторонні трикутники та квадрат. - У неправильних многокутників не всі сторони та кути однакові. Прикладом може бути прямокутник, де протилежні сторони рівні, але не всі сторони.
Опуклі та увігнуті многокутники
- Багатокутник є опуклим, якщо всі його внутрішні кути менші за \(180^\circ\) і жоден відрізок між будь-якими двома точками на межі ніколи не виходить за межі багатокутника. - Багатокутник є увігнутим, якщо між двома точками на межі, яка лежить за межами багатокутника, є принаймні один відрізок.
Прості та складні многокутники
- Сторони простого багатокутника не перетинаються, окрім своїх кінцевих точок. - Складний многокутник має сторони, які перетинаються.
Назви багатокутників
Багатокутники називаються відповідно до кількості сторін, які вони мають. - Трикутник (3 сторони) - Чотирикутник (4 сторони) - П'ятикутник (5 сторін) - Шестикутник (6 сторін) - Семикутник (7 сторін) - Восьмикутник (8 сторін) - Нонакутник (9 сторін) - Десятикутник (10 сторін) Для багатокутників з більшою кількістю сторін схема найменування зазвичай включає цифровий префікс, за яким слідує «-кутник», наприклад «дванадцятикутник» для 12-гранного багатокутника.
Властивості багатокутників
Кути
Суму внутрішніх кутів багатокутника з \(n\) сторонами можна знайти за формулою: \( \textrm{Сума внутрішніх кутів} = (n - 2) \times 180^\circ \) Для правильних многокутників , кожен внутрішній кут можна знайти, поділивши суму на кількість сторін \(n\) . \( \textrm{Внутрішній кут} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)
сторони
У правильному многокутнику всі сторони мають однакову довжину. У неправильному многокутнику сторони можуть мати різну довжину.
Діагоналі
Кількість діагоналей у багатокутнику з \(n\) сторін визначається так: \( \textrm{Кількість діагоналей} = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Периметр і площа
- Периметр многокутника - це сума довжин його сторін. - Формула площі залежить від типу багатокутника. Наприклад: - Площа прямокутника дорівнює \(length \times width\) . - Для правильного багатокутника площу можна обчислити як \(\frac{1}{4}n \times s^2 \times \cot(\frac{\pi}{n})\) де \(n\) — це кількість сторін, а \(s\) — довжина однієї сторони.
Приклади та досліди
Приклад 1: Обчислення суми внутрішніх кутів
Шестикутник має 6 сторін. Використовуючи формулу \((n - 2) \times 180^\circ\) , знаходимо суму внутрішніх кутів: \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
Приклад 2. Знаходження кількості діагоналей у п’ятикутнику
П'ятикутник має 5 сторін. За формулою \(\frac{n(n - 3)}{2}\) обчислюємо кількість діагоналей: \( \frac{5(5 - 3)}{2} = 5 \) Ці приклади ілюструють властивості та обчислення, які можна зробити щодо багатокутників за допомогою простих формул.
