Matematiska formler är ett kortfattat sätt att uttrycka information eller en metod för att lösa ett problem. De spelar en avgörande roll inom olika områden inom matematiken som algebra, geometri, kalkyl och vidare. I den här lektionen kommer vi att utforska det väsentliga i matematiska formler, inklusive deras definitioner, typer och hur de används för att lösa problem.
Ett matematiskt uttryck är en kombination av tal, variabler och operationssymboler (+, -, *, /) som representerar en viss kvantitet. En ekvation, å andra sidan, består av två uttryck åtskilda av ett "="-tecken, vilket indikerar att båda uttrycken är ekvivalenta.
Till exempel representerar uttrycket \(3x + 5\) en kvantitet som är tre gånger en variabel \(x\) , ökad med fem. Ekvationen \(3x + 5 = 11\) säger att när tre gånger \(x\) ökas med fem, blir resultatet elva.
Formler kan klassificeras baserat på det matematiska området de hänför sig till. Här kommer vi att granska några grundläggande formler från olika områden.
I algebra används formler för att lösa problem som involverar ekvationer och ojämlikheter. Ett typiskt exempel är andragradsformeln, som ger lösningen/lösningarna till en andragradsekvation \(ax^2 + bx + c = 0\) . Formeln ges av:
\(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)Denna formel används för att hitta värdena på \(x\) som uppfyller andragradsekvationen.
Geometri använder formler för att beräkna mått som area, volym och omkrets. En väsentlig geometrisk formel är arean av en cirkel, som ges av:
\(A = \pi r^2\)Där \(A\) är arean och \(r\) är cirkelns radie.
Calculus, den gren av matematik som handlar om förändringshastigheter och ackumulering, använder formler för differentiering och integration. Ett primärt exempel är derivatan av en funktion, som representerar en omedelbar förändringshastighet för funktionen med avseende på en av dess variabler. Derivatan av en funktion \(f(x)\) betecknas som \(f'(x)\) eller \(\frac{df}{dx}\) .
Till exempel är derivatan av \(x^2\) med avseende på \(x\) \(2x\) , symboliskt,
\(\frac{d}{dx}x^2 = 2x\)Matematiska formler är verktyg för att lösa en lång rad problem. De möjliggör en exakt och effektiv beräkning av kvantiteter och ger metoder för att förstå sambanden mellan olika variabler.
Betrakta andragradsekvationen \(2x^2 - 4x - 16 = 0\) . För att hitta värdena på \(x\) som uppfyller denna ekvation kan vi använda andragradsformeln. Här är koefficienterna \(a = 2\) , \(b = -4\) , och \(c = -16\) .
Om vi kopplar in dessa värden till den kvadratiska formeln får vi:
\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4(2)(-16)}}{2(2)}\)Att lösa denna ekvation ger värdena på \(x\) som uppfyller \(2x^2 - 4x - 16 = 0\) .
Om en cirkel har en radie på 3 enheter kan dess area beräknas med areaformeln \(A = \pi r^2\) . Genom att ersätta \(r = 3\) finner vi:
\(A = \pi (3)^2 = 9\pi\)Cirkelns area är alltså \(9\pi\) kvadratenheter.
Att förstå matematiska formler kräver förtrogenhet med de symboler och notation som används i matematik samt förmågan att tillämpa logiska resonemang för att manipulera dessa formler på lämpligt sätt. Allt eftersom man går vidare i matematiska studier kommer komplexiteten och variationen av formler som man möter att öka, vilket betonar vikten av en solid grund i grunderna som tas upp i denna lektion.
