Alt çoxluqlar riyaziyyat sahəsində, xüsusən də obyektlərin kolleksiyalarının öyrənilməsi olan çoxluqlar nəzəriyyəsi daxilində fundamental anlayışdır. Alt çoxluqları başa düşmək müxtəlif riyazi və hesablama nəzəriyyələrini dərk etmək üçün çox vacibdir. Bu dərs alt çoxluğun tərifini, alt çoxluqların növlərini və onların xassələrini nümunələrlə araşdıracaq.
Alt çoxluq nədir?
Alt çoxluq, hamısı başqa çoxluğa aid olan elementləri ehtiva edən çoxluqdur. \(A\) və \(B\) iki çoxluq olsun. Əgər \(A\) elementinin hər bir elementi də \(B\)\(A\)\(B\) -nin alt çoxluğu olduğunu deyirik. Bu \(A \subseteq B\) kimi qeyd olunur.
Düzgün alt çoxluq
Düzgün alt çoxluq başqa çoxluğun bütün elementlərini deyil, bəzilərini ehtiva edən alt çoxluq növüdür. Əgər \(A\)\(B\) -nin müvafiq alt çoxluğudursa, \(A\) elementinin hər bir elementi \(B\) içərisindədir və \(B\)\(A\) içərisində tapılmayan ən azı bir elementə malikdir. \(A\) . Bu \(A \subset B\) kimi simvollaşdırılır.
Universal dəst və boş dəst
- Universal çoxluq nəzərdən keçirilən bütün obyektləri özündə cəmləşdirən çoxluqdur. Çox vaxt \(U\) simvolu ilə təmsil olunur. - \(\emptyset\) ilə işarələnən boş dəstdə heç bir element yoxdur. Maraqlıdır ki, boş dəst hər çoxluğun alt çoxluğudur.
Alt çoxluqların nümunələri
1. İki çoxluğu müəyyən edək: \(A = \{1, 2, 3\}\) və \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) . Bu halda \(A\)\(B\) ( \(A \subseteq B\) ) alt çoxluğudur, çünki \(A\) elementinin hər bir elementi \(B\) içərisindədir. Əlavə olaraq, \(A\)\(B\) ( \(A \subset B\) ) uyğun alt çoxluğudur, çünki \(B\)\(A\) içərisində olmayan elementləri (4 və 5) ehtiva edir. 2. \(A = \{2, 4\}\) və \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) nəzərə alınmaqla, \(A\)\(B\) \) alt çoxluğudur. \(B\) çünki \(A\) elementinin bütün elementləri də \(B\) elementidir. 3. Əgər \(C = \{6\}\) və \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) , \(C\)\(B\) alt çoxluğu deyilsə çünki element 6 \(B\) içərisində tapılmır.
Alt çoxluqların xassələri
- Hər çoxluq özünün alt çoxluğudur ( \(A \subseteq A\) ). - Boş çoxluq hər hansı çoxluğun alt çoxluğudur ( \(\emptyset \subseteq A\) ). - Əgər \(A \subseteq B\) və \(B \subseteq A\) , onda \(A = B\) . - Əgər \(A \subseteq B\) və \(B \subseteq C\) , onda \(A \subseteq C\) .
Güc dəsti
Güc dəsti, boş dəst və çoxluğun özü də daxil olmaqla, verilmiş çoxluğun bütün alt çoxluqlarının çoxluğudur. \(A\) güc dəsti \(\mathcal{P}(A)\) ilə işarələnir. Əgər çoxluğun \(n\) elementləri varsa, onda onun güc çoxluğu \(2^n\) elementlərə malik olacaq.
Alt çoxluqların müxtəlif kontekstlərdə şərh edilməsi
Alt çoxluqlar əsasən riyazi anlayış olsa da, kompüter elmləri, informasiya nəzəriyyəsi və məntiq kimi digər sahələrdə də tətbiq oluna və şərh edilə bilər. Kompüter elmində alt çoxluqları başa düşmək məlumat strukturunun təşkilində, alqoritmin optimallaşdırılmasında və verilənlər bazası sxeminin dizaynında kömək edə bilər.
Nəticə
Alt çoxluqlar bir çox digər sahələrdə bir neçə riyazi nəzəriyyə və tətbiqlər üçün əsas təşkil edir. Alt çoxluqların tərifini, növlərini, xassələrini və nümunələrini dərk etməklə çoxluqlar nəzəriyyəsinin və onun tətbiqlərinin sonrakı tədqiqi üçün möhkəm zəmin yaratmaq olar. Alt çoxluqları başa düşmək daha mürəkkəb riyazi strukturların və anlayışların mənasını vermək üçün vacibdir.
