مفهوم باینری نقش مهمی در بخش‌های مختلف، به‌ویژه در ریاضیات و علوم رایانه ایفا می‌کند. این درس به ماهیت اعداد باینری، اهمیت آنها و نحوه استفاده از آنها در عملیات ریاضی پایه می پردازد.
سیستم اعداد باینری، که به عنوان پایه 2 نیز شناخته می شود، تنها از دو نماد استفاده می کند: 0 و 1. برخلاف سیستم اعشاری (پایه-10) که از ده نماد (0-9) استفاده می کند، باینری پایه محاسبات دیجیتال را تشکیل می دهد و سیستم های الکترونیکی باینری در هسته خود مجموعه ای از حالت های روشن (1) و خاموش (0) را نشان می دهد که کاملاً با عملکرد الکتریکی رایانه ها مطابقت دارد.
هر رقم در یک عدد باینری به عنوان یک بیت نامیده می شود که مخفف رقم باینری است. یک عدد باینری مانند 1011 از بیت ها تشکیل شده است. برای درک مقدار آن در سیستم اعشاری، به هر بیت یک مقدار موقعیتی اختصاص داده می شود که با توان 2 افزایش می یابد و از سمت راست ترین بیت شروع می شود.
به عنوان مثال، عدد باینری 1011 را می توان به صورت زیر تقسیم کرد:
\(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
\(= 8 + 0 + 2 + 1 = 11\)
بنابراین، 1011 در باینری معادل 11 در سیستم اعشاری است.
محاسبات دودویی بر اساس همان اصول محاسبات اعشاری عمل می کند، اما تنها با دو رقم. رایج ترین عملیات در باینری عبارتند از جمع، تفریق، ضرب و تقسیم.
افزودن اعداد باینری از قوانین اساسی پیروی می کند، جایی که \(0+0=0\) , \(0+1=1\) , \(1+0=1\) و \(1+1=10\) با آخرین سناریوی که نیاز به انتقال به ستون بعدی دارد.
مثال:
\(1010\)
+ \(0101\)
\(1111\)
تفریق در باینری همچنین شامل قوانین اساسی است و گاهی اوقات برای عملیاتی مانند \(1-0=1\) ، \(0-1\) نیاز به قرض گرفتن از ستون بعدی دارد که در آن قرض گرفتن 0 را به 2 تبدیل می کند (در نماد پایه 2). ، بنابراین \(2-1=1\) .
مثال:
\(1010\)
- \(0101\)
\(0101\)
ضرب و تقسیم در دودویی مشابه همتاهای اعشاری خود هستند اما به دلیل استفاده از دو رقم ساده شده اند. برای ضرب، \(1 \times 1 = 1\) و هر چیزی که در 0 ضرب شود برابر 0 است. تقسیم از همان الگوی پیروی می کند که در آن تقسیم بر 0 تعریف نشده است و نتیجه تقسیم بر 1 خود عدد است.
اعداد باینری فقط مفاهیم نظری نیستند، بلکه کاربردهایی در دنیای واقعی دارند، به ویژه در محاسبات و الکترونیک دیجیتال. سیستم باینری زبانی است که رایانه ها از طریق آن محاسبات را انجام می دهند و داده ها را ذخیره می کنند. در اینجا چند برنامه کاربردی وجود دارد:
باینری ستون فقرات همه دستگاه های محاسباتی و دیجیتال را تشکیل می دهد. سادگی آن امکان پردازش قابل اعتماد و کارآمد حجم وسیعی از داده ها را فراهم می کند. علاوه بر این، سازگاری سیستم باینری با مدارهای الکترونیکی، که در آن سوئیچ‌ها می‌توانند روشن یا خاموش باشند، آن را به گزینه‌ای بهینه برای همه اشکال فناوری دیجیتال تبدیل می‌کند.
برای تبدیل یک عدد اعشاری به باینری می توان از روش تقسیم بر 2 استفاده کرد که در آن عدد اعشاری به طور پیوسته بر 2 تقسیم می شود و باقیمانده در هر مرحله یادداشت می شود. عدد باینری با خواندن باقی مانده ها به عقب (از پایین به بالا) به دست می آید.
مثال: 13 را به باینری تبدیل کنید.
مراحل تقسیم:
با خواندن باقی مانده ها به عقب 1101 به دست می آید.
بنابراین، نمایش دودویی اعشاری 13 1101 است.
سیستم اعداد باینری زبان اصلی کامپیوتر و الکترونیک دیجیتال را تشکیل می دهد. با استفاده از تنها دو نماد، 0 و 1، باینری وسیله ای همه کاره و کارآمد برای نمایش داده ها، پردازش و ذخیره سازی است. از طریق درک روشنی از محاسبات باینری، تبدیل‌ها و کاربردهای مختلف آن، می‌توان پیشرفت‌های فناوری به‌دست‌آمده در محاسبات و ارتباطات دیجیتال را بهتر درک کرد.
