La notion de binaire joue un rôle crucial dans divers secteurs, notamment en mathématiques et en informatique. Cette leçon approfondira l'essence des nombres binaires, leur importance et la manière dont ils sont utilisés dans les opérations mathématiques de base.
Le système de nombres binaires, également connu sous le nom de base 2, n'utilise que deux symboles : 0 et 1. Contrairement au système décimal (base 10) qui utilise dix symboles (0 à 9), le système binaire constitue le fondement de l'informatique numérique et systèmes électroniques. À la base, le binaire représente une série d’états activé (1) et désactivé (0), ce qui convient parfaitement au fonctionnement électrique des ordinateurs.
Chaque chiffre d'un nombre binaire est appelé un bit, qui est l'abréviation de chiffre binaire. Un nombre binaire tel que 1011 est composé de bits. Pour comprendre sa valeur dans le système décimal, chaque bit se voit attribuer une valeur de position qui augmente comme une puissance de 2, en commençant par le bit le plus à droite.
Par exemple, le nombre binaire 1011 peut se décomposer comme suit :
\(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
\(= 8 + 0 + 2 + 1 = 11\)
Par conséquent, 1011 en binaire équivaut à 11 en système décimal.
L'arithmétique binaire fonctionne selon les mêmes principes que l'arithmétique décimale, mais avec seulement deux chiffres. Les opérations les plus courantes en binaire sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
L'ajout de nombres binaires suit les règles de base, où \(0+0=0\) , \(0+1=1\) , \(1+0=1\) et \(1+1=10\) , avec le dernier scénario nécessitant un report à la colonne suivante.
Exemple:
\(1010\)
+ \(0101\)
\(1111\)
La soustraction en binaire implique également des règles de base et nécessite parfois d'emprunter à la colonne suivante pour des opérations telles que \(1-0=1\) , \(0-1\) où l'emprunt transforme le 0 en 2 (en notation base 2). ), donc \(2-1=1\) .
Exemple:
\(1010\)
- \(0101\)
\(0101\)
La multiplication et la division en binaire sont similaires à leurs homologues décimales mais simplifiées en raison de l'utilisation de seulement deux chiffres. Pour la multiplication, \(1 \times 1 = 1\) et tout ce qui est multiplié par 0 est égal à 0. La division suit le même modèle où la division par 0 n'est pas définie et le résultat de la division par 1 est le nombre lui-même.
Les nombres binaires ne sont pas seulement des concepts théoriques, mais ont des applications concrètes, notamment en informatique et en électronique numérique. Le système binaire est le langage grâce auquel les ordinateurs effectuent des calculs et stockent des données. Voici quelques applications :
Le binaire constitue l’épine dorsale de tous les appareils informatiques et numériques. Sa simplicité permet le traitement fiable et efficace de grandes quantités de données. De plus, la compatibilité du système binaire avec les circuits électroniques, où les interrupteurs peuvent être activés ou désactivés, en fait le choix optimal pour toutes les formes de technologie numérique.
Pour convertir un nombre décimal en binaire, on peut utiliser la méthode de division par 2, où le nombre décimal est continuellement divisé par 2 et le reste à chaque étape est noté. Le nombre binaire s'obtient en lisant les restes à l'envers (de bas en haut).
Exemple : Convertissez 13 en binaire.
Étapes de division :
La lecture des restes à l'envers donne 1101.
Ainsi, la représentation binaire du nombre décimal 13 est 1101.
Le système de nombres binaires constitue le langage fondamental des ordinateurs et de l’électronique numérique. En employant seulement deux symboles, 0 et 1, le binaire représente un moyen polyvalent et efficace pour la représentation, le traitement et le stockage des données. Grâce à une compréhension claire de l'arithmétique binaire, des conversions et de ses diverses applications, on peut mieux apprécier les progrès technologiques réalisés dans le domaine de l'informatique et de la communication numérique.
