Концепція двійкової системи відіграє вирішальну роль у різних секторах, зокрема в математиці та інформатиці. Цей урок заглибиться в суть двійкових чисел, їх важливість і те, як вони використовуються в основних математичних операціях.
Двійкова система числення, також відома як основа 2, використовує лише два символи: 0 і 1. На відміну від десяткової системи (основа 10), яка використовує десять символів (0-9), двійкова система є основою цифрових обчислень і електронні системи. За своєю суттю двійковий код представляє серію увімкнених (1) і вимкнених (0) станів, які ідеально відповідають електричній роботі комп’ютерів.
Кожна цифра в двійковому числі називається бітом, що є скороченням від двійкової цифри. Двійкове число, наприклад 1011, складається з бітів. Щоб зрозуміти його значення в десятковій системі, кожному біту присвоюється позиційне значення, яке зростає як ступінь 2, починаючи з крайнього правого біта.
Наприклад, двійкове число 1011 можна розбити так:
\(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
\(= 8 + 0 + 2 + 1 = 11\)
Тому 1011 у двійковій системі числення еквівалентно 11 у десятковій системі.
Двійкова арифметика працює за тими ж принципами, що й десяткова арифметика, але лише з двома цифрами. Найпоширенішими операціями в двійковій системі є додавання, віднімання, множення та ділення.
Додавання двійкових чисел відповідає основним правилам, де \(0+0=0\) , \(0+1=1\) , \(1+0=1\) і \(1+1=10\) , з останній сценарій потребує перенесення до наступного стовпця.
приклад:
\(1010\)
+ \(0101\)
\(1111\)
Віднімання у двійковій системі також включає основні правила, а іноді вимагає запозичення з наступного стовпця для таких операцій, як \(1-0=1\) , \(0-1\) де запозичення перетворює 0 на 2 (у нотації з основою 2). ), таким чином \(2-1=1\) .
приклад:
\(1010\)
- \(0101\)
\(0101\)
Множення та ділення в двійковій системі подібні до своїх десяткових аналогів, але спрощені завдяки використанню лише двох цифр. Для множення \(1 \times 1 = 1\) , і все, що помножено на 0, дорівнює 0. Ділення відбувається за тією ж схемою, де ділення на 0 не визначено, а результатом ділення на 1 є саме число.
Двійкові числа — це не лише теоретичні концепції, а й застосування в реальному світі, особливо в обчислювальній техніці та цифровій електроніці. Двійкова система — це мова, за допомогою якої комп’ютери виконують обчислення та зберігають дані. Ось кілька додатків:
Двійковий код є основою всіх обчислювальних і цифрових пристроїв. Його простота дозволяє надійно та ефективно обробляти величезні обсяги даних. Крім того, сумісність двійкової системи з електронними схемами, де перемикачі можуть бути увімкнені або вимкнені, робить її оптимальним вибором для всіх форм цифрових технологій.
Щоб перетворити десяткове число в двійкове, можна скористатися методом ділення на 2, коли десяткове число безперервно ділиться на 2, а залишок записується на кожному кроці. Двійкове число отримується читанням залишків назад (знизу вгору).
Приклад: перетворіть 13 у двійковий.
Етапи поділу:
Читання залишків назад дає 1101.
Отже, двійкове подання десяткового числа 13 дорівнює 1101.
Двійкова система числення є основоположною мовою комп’ютерів і цифрової електроніки. Завдяки використанню всього двох символів, 0 і 1, двійковий код представляє універсальний і ефективний засіб представлення, обробки та зберігання даних. Завдяки чіткому розумінню двійкової арифметики, перетворень та різноманітних застосувань можна краще оцінити технологічні досягнення, досягнуті в обчислювальній техніці та цифровому зв’язку.
