Konus kəsikləri düz dairəvi konusun müstəvi ilə kəsişməsindən əldə edilən əyrilərdir. Döngənin forması təyyarənin konusla kəsişdiyi bucaqdan asılıdır. Konus kəsiklərinin dörd əsas növü var: dairə, ellips, parabola və hiperbola. Bu formaların hər biri onları təsvir edən unikal xüsusiyyətlərə və tənliklərə malikdir.
Dairə, mərkəz kimi tanınan müəyyən bir nöqtədən sabit bir məsafədə olan bir müstəvidəki bütün nöqtələrin çoxluğudur. Sabit məsafə radius adlanır. Mərkəzi \((h, k)\) və radiusu \(r\) olan dairənin standart tənliyi belədir:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)Nümunə: Mərkəzi \( (3, 4) \) və radiusu \(5\) olan çevrə tənliklə təsvir edilə bilər:
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)Ellips müstəvidə iki sabit nöqtədən (fokuslardan) məsafələrinin cəmi sabit olan nöqtələr toplusudur. Böyük ox ən uzun diametrdir, kiçik ox isə ellipsin ən qısa diametridir. Mərkəzi \((h, k)\) , böyük oxun uzunluğu \(2a\) və kiçik oxun uzunluğu \(2b\) olan ellipsin standart tənliyi (burada \(a > b\) ) belədir:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Nümunə: Fokusları \((3, 4)\) və \((5, 4)\) , əsas oxun uzunluğu \(6\) və kiçik oxun uzunluğu \(4\) olan ellips ilə təsvir edilə bilər. tənlik:
\( \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 4)^2}{4} = 1 \)Parabola müstəvidə sabit nöqtədən (fokus) və sabit xəttdən (direktrix) bərabər məsafədə yerləşən nöqtələr toplusudur. Parabolanın təpəsi onun direktrisə ən yaxın olduğu nöqtədir. Yuxarı və ya aşağı açılan (təpəsi \( (h, k) \) olan) parabolun standart forması belədir:
\( (y - k) = a(x - h)^2 \)Burada \(a\) parabolanın enini və istiqamətini təyin edir. Əgər \(a > 0\) olarsa, parabola yuxarıya doğru açılır. \(a < 0\) olarsa, aşağı açılır.
Təcrübə: Parabolanı təsəvvür etmək üçün fənər və divarla sadə təcrübə aparmaq olar. Fənəri divara paralel olaraq işıqlandırın və işığı əks etdirəcək şəkildə güzgü qoyun. Güzgüdə əks olunan işığın yolu parabola əmələ gətirəcək.
Nümunə: Təpəsi \( (3, 2) \) nöqtəsində olan və eni \(4\) əmsalı ilə yuxarıya doğru açılan parabolanı tənliklə təsvir etmək olar:
\( (y - 2) = 4(x - 3)^2 \)Hiperbola əyrinin hər hansı bir nöqtəsindən iki sabit nöqtəyə (fokuslara) olan məsafələrin mütləq fərqinin sabit olduğu müstəvidə nöqtələr toplusudur. Hiperbolalar budaqlar adlanan iki ayrılmış əyridən ibarətdir. Mərkəzi \((h, k)\) , böyük oxun uzunluğu \(2a\) (x oxu boyunca) və kiçik oxun uzunluğu \(2b\) (y oxu boyunca) olan hiperbolanın standart tənliyi ) budur:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Nümunə: Mərkəzi \( (0, 0) \) və ox uzunluqları \(2a = 6\) və \(2b = 4\) olan hiperbolanı tənliklə təsvir etmək olar:
\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \)Konus kəsikləri təkcə riyazi anlayışlar deyil, həm də planetlərin və kometaların orbitlərində (ellipslər), mərmilərin yollarında (parabolalar), peyk antennalarının və teleskopların formasında (parabola və hiperbolalar).
Astronomiyada ellipslər: Günəş ətrafında planetlərin və kometaların orbitləri elliptikdir, günəş fokuslardan birində yerləşir. Bunu ilk dəfə 17-ci əsrin əvvəllərində Yohannes Kepler kəşf edib.
Mühəndislikdə Parabolalar: San-Fransiskodakı Qızıl Qapı Körpüsü parabolik tağlardan istifadə edir. Forma struktur cəhətdən səmərəli və estetik cəhətdən xoşdur, bu onu körpülər, binalar və hətta su fəvvarələrinin trayektoriyası üçün məşhur seçim edir.
Naviqasiyada hiperbolalar: Hiperbolik naviqasiya sistemləri Qlobal Yerləşdirmə Sisteminin (GPS) yaranmasından əvvəl istifadə edilmişdir. Bu sistemlər, hiperbolik mövqe xətləri yaradaraq, bir cüt radio ötürücüdən gələn siqnalların gəlişi vaxtlarının fərqinə əsaslanaraq yeri təyin edirdi.
Konik kəsikləri başa düşmək həndəsə və onun real dünyada tətbiqləri haqqında biliklərimizi zənginləşdirir. Bu formaların gözəlliyi təkcə riyazi xassələrində deyil, həm də astronomiyadan memarlığa və ondan kənarda müxtəlif sahələrdə praktiki faydalılıqdadır.
Konik bölmələr həm təmiz, həm də tətbiqi riyaziyyatda təməl konsepsiyanı təmin edir. Dairələrin, ellipslərin, parabolaların və hiperbolaların öyrənilməsi həndəsi prinsiplər haqqında anlayışımızı artırır və elm və mühəndislikdə saysız-hesabsız tətbiqlər açır. Bu formaları və onların xassələrini tədqiq etməklə, öyrənənlər riyazi nəzəriyyə ilə real dünya hadisələri arasında qarşılıqlı əlaqəni qiymətləndirə, riyaziyyatın gündəlik həyatımızda zərifliyini və faydalılığını ortaya qoya bilərlər.
