Bagian kerucut adalah kurva yang diperoleh dengan memotong kerucut lingkaran siku-siku dengan bidang. Bentuk kurva bergantung pada sudut perpotongan bidang dengan kerucut. Ada empat tipe dasar bagian kerucut: lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Masing-masing bentuk ini memiliki sifat dan persamaan unik yang menggambarkannya.
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang jaraknya tetap terhadap suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Jarak tetap disebut radius. Persamaan baku lingkaran yang berpusat di \((h, k)\) dan berjari-jari \(r\) adalah:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)Contoh: Lingkaran yang berpusat di \( (3, 4) \) dan berjari-jari \(5\) dapat dijelaskan dengan persamaan:
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang jumlah jaraknya dari dua titik tetap (fokus) adalah tetap. Sumbu mayor adalah diameter terpanjang, dan sumbu minor adalah diameter terpendek elips. Persamaan standar elips yang berpusat di \((h, k)\) , panjang sumbu mayor \(2a\) , dan panjang sumbu minor \(2b\) (dengan \(a > b\) ) adalah:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Contoh: Elips dengan fokus di \((3, 4)\) dan \((5, 4)\) , panjang sumbu mayor \(6\) , dan panjang sumbu minor \(4\) dapat digambarkan dengan persamaan:
\( \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 4)^2}{4} = 1 \)Parabola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap (fokus) dan garis tetap (direktriks). Titik puncak parabola adalah titik terdekatnya dengan direktriks. Bentuk baku parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah (dengan titik sudut di \( (h, k) \) ) adalah:
\( (y - k) = a(x - h)^2 \)Dimana \(a\) menentukan lebar dan arah parabola. Jika \(a > 0\) , parabola terbuka ke atas. Jika \(a < 0\) , itu terbuka ke bawah.
Eksperimen: Untuk memvisualisasikan parabola, seseorang dapat melakukan eksperimen sederhana dengan senter dan dinding. Sorotkan senter sejajar dengan dinding, dan letakkan cermin sedemikian rupa sehingga memantulkan cahaya. Jalur cahaya yang dipantulkan pada cermin akan membentuk parabola.
Contoh: Parabola yang titik sudutnya di \( (3, 2) \) dan terbuka ke atas dengan faktor lebar \(4\) dapat dijelaskan dengan persamaan:
\( (y - 2) = 4(x - 3)^2 \)Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang selisih mutlak jarak antara titik mana pun pada kurva dan dua titik tetap (fokus) adalah konstan. Hiperbola terdiri dari dua kurva tidak terhubung yang disebut cabang. Persamaan standar hiperbola yang berpusat di \((h, k)\) , panjang sumbu mayor \(2a\) (sepanjang sumbu x), dan panjang sumbu minor \(2b\) (sepanjang sumbu y ) adalah:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Contoh: Hiperbola yang berpusat di \( (0, 0) \) dan panjang sumbu \(2a = 6\) dan \(2b = 4\) dapat dijelaskan dengan persamaan:
\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \)Penampang kerucut bukan sekadar konsep matematika, namun memiliki banyak penerapan di dunia nyata, seperti pada orbit planet dan komet (elips), jalur proyektil (parabola), dan bentuk antena parabola dan teleskop (parabola dan hiperbola).
Elips dalam Astronomi: Orbit planet dan komet mengelilingi matahari berbentuk elips, dengan matahari sebagai salah satu fokusnya. Hal ini pertama kali ditemukan oleh Johannes Kepler pada awal abad ke-17.
Parabola dalam Teknik: Jembatan Golden Gate di San Francisco menggunakan lengkungan parabola. Bentuknya yang efisien secara struktural dan estetis, menjadikannya pilihan populer untuk jembatan, bangunan, dan bahkan lintasan air mancur.
Hiperbola dalam Navigasi: Sistem navigasi hiperbolik digunakan sebelum munculnya Global Positioning System (GPS). Sistem ini menentukan lokasi berdasarkan perbedaan waktu kedatangan sinyal dari sepasang pemancar radio, sehingga menciptakan garis posisi hiperbolik.
Memahami bagian kerucut memperkaya pengetahuan kita tentang geometri dan penerapannya di dunia nyata. Keindahan bentuk-bentuk ini tidak hanya terletak pada sifat matematisnya tetapi juga pada kegunaan praktisnya di berbagai bidang, mulai dari astronomi hingga arsitektur, dan seterusnya.
Bagian berbentuk kerucut memberikan konsep dasar dalam matematika murni dan terapan. Studi tentang lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola meningkatkan pemahaman kita tentang prinsip-prinsip geometri dan membuka banyak sekali penerapan dalam sains dan teknik. Dengan mengeksplorasi bentuk-bentuk dan sifat-sifatnya, pelajar dapat mengapresiasi keterkaitan antara teori matematika dan fenomena dunia nyata, sehingga mengungkap keanggunan dan kegunaan matematika dalam kehidupan kita sehari-hari.
