कोनिक खण्डहरू दायाँ गोलाकार शंकुलाई समतलसँग काटेर प्राप्त गरिएका वक्रहरू हुन्। वक्रको आकार कोणमा निर्भर गर्दछ जसमा विमानले कोनलाई काट्छ। त्यहाँ चार आधारभूत प्रकारका कोनिक खण्डहरू छन्: वृत्त, अण्डाकार, प्याराबोला, र हाइपरबोला। यी प्रत्येक आकारहरूमा अद्वितीय गुणहरू र समीकरणहरू छन् जसले तिनीहरूलाई वर्णन गर्दछ।
सर्कल भनेको समतलमा भएका सबै बिन्दुहरूको सेट हो जुन दिइएको बिन्दुबाट निश्चित दूरी हो, जसलाई केन्द्र भनिन्छ। निश्चित दूरीलाई त्रिज्या भनिन्छ। \((h, k)\) र त्रिज्या \(r\) मा केन्द्र भएको वृत्तको मानक समीकरण हो:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)उदाहरण: \( (3, 4) \) र त्रिज्या \(5\) मा केन्द्र भएको वृत्तलाई समीकरणद्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ:
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)एक अण्डाकार विमानमा बिन्दुहरूको सेट हो, जसको दुई निश्चित बिन्दुहरू (foci) बाट दूरी स्थिर छ। प्रमुख अक्ष सबैभन्दा लामो व्यास हो, र सानो अक्ष दीर्घवृत्तको सबैभन्दा छोटो व्यास हो। \((h, k)\) , प्रमुख अक्ष लम्बाइ \(2a\) र माइनर अक्ष लम्बाइ \(2b\) (जहाँ \(a > b\) ) मा केन्द्र भएको दीर्घवृत्तको मानक समीकरण हो:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)उदाहरण: \((3, 4)\) र \((5, 4)\) , प्रमुख अक्षको लम्बाइ \(6\) , र सानो अक्षको लम्बाइ \(4\) मा फोकस भएको अण्डाकारलाई वर्णन गर्न सकिन्छ। समीकरण:
\( \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 4)^2}{4} = 1 \)एक parabola एक विमान मा बिन्दुहरु को सेट हो जुन एक निश्चित बिन्दु (फोकस) र एक निश्चित रेखा (directrix) बाट समान दूरी हो। प्याराबोला को शीर्ष बिन्दु हो जहाँ यो directrix को नजिक छ। माथि वा तल खुल्ने प्याराबोलाको मानक रूप ( \( (h, k) \) मा vertex को साथ ) हो:
\( (y - k) = a(x - h)^2 \)जहाँ \(a\) ले parabola को चौडाइ र दिशा निर्धारण गर्दछ। यदि \(a > 0\) , प्याराबोला माथितिर खुल्छ। यदि \(a < 0\) , यो तल खुल्छ।
प्रयोग: एक प्याराबोला कल्पना गर्न को लागी, एक टर्च र भित्ता संग एक साधारण प्रयोग गर्न सक्छ। भित्तामा समानान्तर फ्ल्यासलाइट चम्काउनुहोस्, र प्रकाश प्रतिबिम्बित गर्ने तरिकामा ऐना राख्नुहोस्। ऐनामा परावर्तित प्रकाशको बाटोले एउटा परबोला बनाउँछ।
उदाहरण: \( (3, 2) \) मा vertex भएको parabola र \(4\) को चौडाइ कारकको साथ माथि खुल्छ समीकरणद्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ:
\( (y - 2) = 4(x - 3)^2 \)हाइपरबोला भनेको विमानमा बिन्दुहरूको सेट हो जहाँ वक्रको कुनै पनि बिन्दुबाट दुई निश्चित बिन्दुहरू (फोसी) सम्मको दूरीको निरपेक्ष भिन्नता स्थिर हुन्छ। हाइपरबोलामा शाखाहरू भनिने दुईवटा विच्छेदित वक्रहरू हुन्छन्। \((h, k)\) मा केन्द्र भएको हाइपरबोलाको मानक समीकरण, प्रमुख अक्ष लम्बाइ \(2a\) (x-अक्षको साथमा), र सानो अक्षको लम्बाइ \(2b\) (y-अक्षको साथमा) ) छ:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)उदाहरण: \( (0, 0) \) मा केन्द्र भएको हाइपरबोला र \(2a = 6\) र \(2b = 4\) को अक्ष लम्बाइ समीकरणद्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ:
\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \)कोनिक खण्डहरू केवल गणितीय अवधारणाहरू मात्र होइनन्, तर तिनीहरूसँग वास्तविक संसारमा धेरै अनुप्रयोगहरू छन्, जस्तै ग्रहहरू र धूमकेतुहरू (एलिप्सेसहरू), प्रोजेक्टाइलहरूको मार्गहरू (प्याराबोलास), र उपग्रह भाँडाहरू र टेलिस्कोपहरूको आकार (प्याराबोलास र हाइपरबोलास)।
खगोल विज्ञानमा अण्डाकार: सूर्यको वरिपरि ग्रहहरू र धूमकेतुहरूको परिक्रमा अण्डाकार हुन्छ, जसमा सूर्य एक केन्द्रमा हुन्छ। यो पहिलो पटक 17 औं शताब्दीको सुरुमा जोहानेस केप्लरले पत्ता लगाएका थिए।
ईन्जिनियरिङ् मा Parabolas: सान फ्रान्सिस्को मा गोल्डेन गेट ब्रिज प्याराबोलिक मेहराब को उपयोग गर्दछ। आकार संरचनात्मक रूपमा कुशल र सौन्दर्यको रूपमा मनमोहक छ, यसले पुलहरू, भवनहरू, र पानीका झरनाहरूको प्रक्षेपणको लागि पनि लोकप्रिय विकल्प बनाउँछ।
नेभिगेसनमा हाइपरबोलास: ग्लोबल पोजिसनिङ सिस्टम (GPS) को आगमन अघि हाइपरबोलिक नेभिगेसन प्रणालीहरू प्रयोग गरिन्थ्यो। यी प्रणालीहरूले स्थानको हाइपरबोलिक लाइनहरू सिर्जना गर्दै, रेडियो ट्रान्समिटरहरूको जोडीबाट संकेतहरूको आगमनको समयमा भिन्नताको आधारमा स्थान निर्धारण गर्दछ।
कोनिक खण्डहरू बुझ्नुले ज्यामिति र वास्तविक संसारमा यसको अनुप्रयोगहरूको हाम्रो ज्ञानलाई समृद्ध बनाउँछ। यी आकारहरूको सुन्दरता तिनीहरूको गणितीय गुणहरूमा मात्र होइन तर तिनीहरूको व्यावहारिक उपयोगितामा पनि विभिन्न क्षेत्रहरूमा, खगोल विज्ञानदेखि वास्तुकला र त्यसभन्दा बाहिर पनि छ।
कोनिक खण्डहरूले शुद्ध र लागू गणित दुवैमा आधारभूत अवधारणा प्रदान गर्दछ। गोलाकार, अण्डाकार, प्याराबोला र हाइपरबोलाको अध्ययनले ज्यामितीय सिद्धान्तहरूको हाम्रो बुझाइ बढाउँछ र विज्ञान र इन्जिनियरिङमा असंख्य अनुप्रयोगहरू खोल्छ। यी आकारहरू र तिनीहरूका गुणहरू अन्वेषण गरेर, विद्यार्थीहरूले गणित सिद्धान्त र वास्तविक-विश्व घटनाहरू बीचको अन्तरसम्बन्धको कदर गर्न सक्छन्, जसले हाम्रो दैनिक जीवनमा गणितको भव्यता र उपयोगिता प्रकट गर्दछ।
