Sehemu za koni ni curves zilizopatikana kwa kuingiliana na koni ya mviringo ya kulia na ndege. Sura ya curve inategemea angle ambayo ndege huingiliana na koni. Kuna aina nne za msingi za sehemu za conic: duara, duaradufu, parabola, na hyperbola. Kila moja ya maumbo haya ina mali ya kipekee na milinganyo ambayo inawaelezea.
Mduara ni seti ya pointi zote katika ndege ambazo ni umbali usiobadilika kutoka kwa sehemu fulani, inayojulikana kama kituo. Umbali uliowekwa unaitwa radius. Mlinganyo wa kawaida wa duara na kituo katika \((h, k)\) na kipenyo \(r\) ni:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)Mfano: Mduara ulio na kituo katika \( (3, 4) \) na radius \(5\) unaweza kuelezewa na mlinganyo:
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)Mviringo ni seti ya pointi katika ndege, jumla ya umbali kutoka kwa pointi mbili za kudumu (foci) ni mara kwa mara. Mhimili mkubwa ni kipenyo kirefu zaidi, na mhimili mdogo ni kipenyo kifupi zaidi cha duaradufu. Mlinganyo wa kawaida wa duaradufu yenye kituo katika \((h, k)\) , urefu wa mhimili mkuu \(2a\) , na urefu mdogo wa mhimili \(2b\) (ambapo \(a > b\) ) ni:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Mfano: duaradufu yenye foci katika \((3, 4)\) na \((5, 4)\) , urefu wa mhimili mkuu \(6\) , na urefu mdogo wa mhimili \(4\) unaweza kuelezewa na mlingano:
\( \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 4)^2}{4} = 1 \)Parabola ni seti ya pointi katika ndege ambayo ni equidistant kutoka kwa uhakika fasta (lengo) na mstari fasta (directrix). Kipeo cha parabola ni mahali ambapo iko karibu na directrix. Aina ya kawaida ya parabola inayofungua juu au chini (iliyo na kipeo katika \( (h, k) \) ) ni:
\( (y - k) = a(x - h)^2 \)Ambapo \(a\) huamua upana na mwelekeo wa parabola. Ikiwa \(a > 0\) , parabola hufunguka kwenda juu. Ikiwa \(a < 0\) , inafungua chini.
Jaribio: Ili kuibua parabola, mtu anaweza kufanya jaribio rahisi kwa tochi na ukuta. Angaza tochi sambamba na ukuta, na uweke kioo kwa namna inayoakisi mwanga. Njia ya mwanga iliyoonyeshwa kwenye kioo itaunda parabola.
Mfano: Kielelezo chenye kipeo \( (3, 2) \) na kinachofunguka juu kikiwa na upana wa \(4\) kinaweza kuelezewa na mlinganyo:
\( (y - 2) = 4(x - 3)^2 \)Hyperbola ni seti ya pointi katika ndege ambapo tofauti kamili ya umbali kutoka kwa hatua yoyote kwenye curve hadi pointi mbili zisizohamishika (foci) ni mara kwa mara. Hyperbolas hujumuisha mikondo miwili iliyokatwa inayoitwa matawi. Mlingano wa kawaida wa hyperbola yenye kituo katika \((h, k)\) , urefu wa mhimili mkuu \(2a\) (kando ya mhimili wa x), na urefu mdogo wa mhimili \(2b\) (kando ya mhimili wa y ) ni:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Mfano: Hyperbola yenye kituo katika \( (0, 0) \) na urefu wa shoka \(2a = 6\) na \(2b = 4\) inaweza kuelezewa kwa mlinganyo:
\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \)Sehemu za koni sio dhana za kihesabu tu, lakini zina matumizi mengi katika ulimwengu wa kweli, kama vile katika njia za sayari na kometi (ellipses), njia za projectiles (parabolas), na sura ya sahani za satelaiti na darubini (parabolas na darubini). hyperbolas).
Ellipses katika Astronomia: Mizunguko ya sayari na kometi kuzunguka jua ni ya duaradufu, na jua kwenye moja ya foci. Hii iligunduliwa kwa mara ya kwanza na Johannes Kepler mwanzoni mwa karne ya 17.
Parabolas katika Uhandisi: Daraja la Lango la Dhahabu huko San Francisco linatumia matao ya mfano. Sura hiyo ni ya kimuundo yenye ufanisi na yenye kupendeza, na kuifanya kuwa chaguo maarufu kwa madaraja, majengo, na hata trajectory ya chemchemi za maji.
Hyperbolas katika Urambazaji: Mifumo ya urambazaji ya hyperbolic ilitumika kabla ya ujio wa Global Positioning System (GPS). Mifumo hii iliamua eneo kulingana na tofauti ya nyakati za kuwasili kwa mawimbi kutoka kwa jozi za visambazaji redio, na kuunda mistari ya nafasi ya hyperbolic.
Kuelewa sehemu za koni huboresha ujuzi wetu wa jiometri na matumizi yake katika ulimwengu halisi. Uzuri wa maumbo haya si tu katika sifa zao za hisabati bali pia katika matumizi yao ya vitendo katika nyanja mbalimbali, kuanzia unajimu hadi usanifu, na kwingineko.
Sehemu za koni hutoa dhana ya msingi katika hisabati safi na inayotumika. Utafiti wa miduara, duaradufu, parabolas, na hyperbolas huongeza uelewa wetu wa kanuni za kijiometri na kufungua maelfu ya matumizi katika sayansi na uhandisi. Kwa kuchunguza maumbo haya na sifa zake, wanafunzi wanaweza kufahamu uhusiano kati ya nadharia ya hisabati na matukio ya ulimwengu halisi, kufichua uzuri na manufaa ya hisabati katika maisha yetu ya kila siku.
