Konus kesimlari - to'g'ri aylana konusni tekislik bilan kesish orqali olingan egri chiziqlar. Egri chiziqning shakli tekislikning konusni kesishgan burchagiga bog'liq. Konus kesimlarining to'rtta asosiy turi mavjud: aylana, ellips, parabola va giperbola. Ushbu shakllarning har biri ularni tavsiflovchi o'ziga xos xususiyatlarga va tenglamalarga ega.
Doira - bu markaz deb ataladigan ma'lum bir nuqtadan qat'iy masofada joylashgan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami. Ruxsat etilgan masofa radius deb ataladi. Markazi \((h, k)\) va radiusi \(r\) boʻlgan aylananing standart tenglamasi:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)Misol: Markazi \( (3, 4) \) va radiusi \(5\) bo'lgan doirani tenglama bilan tasvirlash mumkin:
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)Ellips - bu tekislikdagi ikkita qo'zg'almas nuqtadan (fokuslardan) masofalari yig'indisi doimiy bo'lgan nuqtalar to'plami. Katta o'q - eng uzun diametr, kichik o'q esa ellipsning eng qisqa diametri. Markazi \((h, k)\) , katta o'q uzunligi \(2a\) va kichik o'q uzunligi \(2b\) (bu erda \(a > b\) ) bo'lgan ellipsning standart tenglamasi:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Misol: Fokuslari \((3, 4)\) va \((5, 4)\) , katta oʻq uzunligi \(6\) va kichik oʻq uzunligi \(4\) boʻlgan ellipsni quyidagicha tasvirlash mumkin. tenglama:
\( \frac{(x - 4)^2}{9} + \frac{(y - 4)^2}{4} = 1 \)Parabola - tekislikdagi qo'zg'almas nuqta (fokus) va qo'zg'almas chiziqdan (direktrix) teng masofada joylashgan nuqtalar to'plami. Parabola cho'qqisi direktrisaga eng yaqin bo'lgan nuqtadir. Parabolaning yuqoriga yoki pastga ochiladigan standart ko'rinishi (cho'qqisi \( (h, k) \) da bo'ladi:
\( (y - k) = a(x - h)^2 \)Bu erda \(a\) parabolaning kengligi va yo'nalishini aniqlaydi. Agar \(a > 0\) bo'lsa, parabola yuqoriga ochiladi. Agar \(a < 0\) bo'lsa, u pastga qarab ochiladi.
Tajriba: Parabolani tasavvur qilish uchun chiroq va devor bilan oddiy tajriba o'tkazish mumkin. Chiroqni devorga parallel ravishda yoritib turing va oynani yorug'likni aks ettiradigan tarzda joylashtiring. Oynada aks ettirilgan yorug'lik yo'li parabola hosil qiladi.
Misol: cho'qqisi \( (3, 2) \) bo'lgan va eni \(4\) koeffitsienti bilan yuqoriga ochiladigan parabolani quyidagi tenglama bilan tasvirlash mumkin:
\( (y - 2) = 4(x - 3)^2 \)Giperbola - tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, bunda egri chiziqning istalgan nuqtasidan ikkita qo'zg'almas nuqta (fokus)gacha bo'lgan masofalarning mutlaq farqi doimiy bo'ladi. Giperbolalar shoxlar deb ataladigan ikkita uzilgan egri chiziqdan iborat. Markazi \((h, k)\) , katta o‘q uzunligi \(2a\) (x o‘qi bo‘ylab) va kichik o‘q uzunligi \(2b\) (y o‘qi bo‘ylab) bo‘lgan giperbolaning standart tenglamasi ) bu:
\( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)Misol: Markazi \( (0, 0) \) va oʻqlari uzunliklari \(2a = 6\) va \(2b = 4\) boʻlgan giperbolani tenglama bilan tasvirlash mumkin:
\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 \)Konus kesimlari shunchaki matematik tushunchalar emas, balki ular sayyoralar va kometalarning orbitalarida (ellipslar), snaryadlarning yo'llarida (parabolalar), sun'iy yo'ldosh antennalari va teleskoplarning shakli (parabolalar va) kabi real dunyoda ko'plab qo'llanilishiga ega. giperbolalar).
Astronomiyada ellipslar: Quyosh atrofidagi sayyoralar va kometalarning orbitalari elliptik bo'lib, quyosh fokuslardan birida joylashgan. Buni birinchi marta 17-asr boshlarida Yoxannes Kepler kashf etgan.
Muhandislikdagi parabolalar: San-Frantsiskodagi Oltin darvoza ko'prigi parabolik kamarlardan foydalanadi. Shakl tizimli jihatdan samarali va estetik jihatdan yoqimli bo'lib, uni ko'priklar, binolar va hatto suv favvoralarining traektoriyasi uchun mashhur tanlovga aylantiradi.
Navigatsiyadagi giperbolalar: Giperbolik navigatsiya tizimlari Global joylashishni aniqlash tizimi (GPS) paydo bo'lishidan oldin ishlatilgan. Ushbu tizimlar joylashuvni giperbolik pozitsiyalarni yaratib, bir juft radio uzatgichdan signallarning kelish vaqtlari farqiga qarab aniqladi.
Konus kesimlarini tushunish bizning geometriya va uning real dunyoda qo'llanilishi haqidagi bilimlarimizni boyitadi. Bu shakllarning go‘zalligi nafaqat ularning matematik xossalarida, balki astronomiyadan tortib arxitektura va boshqa sohalarda ham amaliy foydaliligidadir.
Konus kesimlari sof va amaliy matematikada asosiy tushunchani beradi. Doiralarni, ellipslarni, parabolalarni va giperbolalarni o'rganish bizning geometrik printsiplar haqidagi tushunchamizni kuchaytiradi va fan va muhandislikda ko'plab ilovalarni ochadi. Ushbu shakllar va ularning xususiyatlarini o'rganish orqali o'quvchilar matematika nazariyasi va real dunyo hodisalari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni qadrlashlari mumkin, bu matematikaning kundalik hayotimizdagi nafisligi va foydaliligini ochib beradi.
