هندسه شاخه ای از ریاضیات است که به اشکال، اندازه ها و ویژگی های فضا می پردازد. این شامل درک ارقام و قوانینی است که روابط آنها را توصیف می کند. این رشته مطالعاتی اساسی در بسیاری از زمینه ها از جمله هنر، معماری، فیزیک و مهندسی کاربرد دارد.
هندسه بر اساس چند مفهوم اساسی ساخته شده است: نقاط، خطوط، صفحه، زوایا و شکل ها. درک این مفاهیم برای مطالعه ایده های هندسی پیچیده تر ضروری است.
نقاط ساده ترین اشکال هندسی هستند که نشان دهنده یک مکان خاص در فضا بدون هیچ اندازه، شکل یا بعد هستند. در حالی که ما نقاط در نقاشی ها را به صورت نقطه نشان می دهیم، از نظر ریاضی، آنها انتزاعی هستند.
خطوط به عنوان مجموعه ای نامتناهی از نقاط که در دو جهت مخالف امتداد دارند تعریف می شوند. خطوط طول دارند اما ضخامت ندارند و آنها را یک بعدی می کند. پاره های خط و پرتوها بخش هایی از یک خط هستند. یک پاره خط دارای دو نقطه پایانی است و یک پرتو از نقطه مبدا خود در یک جهت بی نهایت امتداد دارد.
صفحات سطوح مسطحی هستند که در همه جهات بی نهایت امتداد دارند. یک هواپیما را مانند یک ورق کاغذ بدون لبه تصور کنید. صفحات دو بعدی هستند و طول و عرض دارند اما ضخامت ندارند.
زمانی که دو پرتو در نقطه ای به نام رأس به هم می رسند، زاویه تشکیل می شود. مقدار چرخش بین دو پرتو بر حسب درجه اندازه گیری می شود. زاویه ها می توانند حاد (کمتر از 90 درجه)، مبهم (بیش از 90 درجه اما کمتر از 180 درجه)، راست (دقیقا 90 درجه) یا مستقیم (180 درجه) باشند.
شکل های اصلی شامل مثلث ها، چهار ضلعی ها، دایره ها و چندضلعی ها هستند. هر شکل دارای خواص منحصر به فرد و فرمول های مرتبط با آن است.
مثلث ها چند ضلعی های سه ضلعی هستند و بر اساس اضلاع یا زوایا طبقه بندی می شوند. بر اساس اضلاع، آنها می توانند متساوی الاضلاع (همه اضلاع برابر)، متساوی الساقین (دو ضلع برابر)، یا مقیاس (هیچ ضلع برابر) باشند. بر اساس زوایا، مثلث ها می توانند حاد، منفرد یا راست باشند.
مجموع زوایای داخلی در هر مثلث همیشه \(180^\circ\) است.
چهارضلعی ها چند ضلعی های چهار وجهی هستند. چهارضلعی های رایج شامل مربع، مستطیل، متوازی الاضلاع، لوزی و ذوزنقه هستند. هر کدام دارای خواص متمایز هستند:
دایره یک شکل صفحه است که به عنوان مجموعه تمام نقاط یک صفحه که در یک فاصله (شعاع) معین از یک نقطه (مرکز) معین قرار دارند، تعریف می شود. از ویژگی های مهم دایره ها می توان به محیط (محیط دایره) و مساحت اشاره کرد. محیط (C) با \(C = 2\pi r\) و مساحت (A) با \(A = \pi r^2\) داده می شود که \(r\) شعاع دایره.
محیط فاصله اطراف یک شکل است و مساحت فضای محصور در یک شکل را اندازه می گیرد. برای مثال، محیط یک مستطیل با طول \(l\) و عرض \(w\) \(2l + 2w\) است و مساحت آن \(lw\) است. برای مثلثی با پایه \(b\) و ارتفاع \(h\) ، مساحت \(\frac{1}{2}bh\) است.
دگرگونی های هندسی شامل ترجمه (لغزش)، چرخش (چرخش)، انعکاس (برگرداندن) و اتساع (تغییر اندازه) است. این عملیات موقعیت یا اندازه اشکال را بدون تغییر ویژگی های اساسی آنها تغییر می دهد.
ترجمه هر نقطه از یک شکل را به همان فاصله در یک جهت حرکت می دهد. تصور کنید کتابی را روی یک میز بلغزانید. کتاب حرکت می کند، اما نمی چرخد و نمی چرخد.
چرخش یک شکل را به دور یک نقطه ثابت بدون تغییر اندازه یا شکل آن می چرخاند. به چرخاندن یک کلید به دور یک قفل فکر کنید. کلید می چرخد اما شکل آن ثابت می ماند.
انعکاس یک تصویر آینه ای از یک شکل در طول خطی به نام محور انعکاس ایجاد می کند. تصور کنید به شکلی در آینه نگاه می کنید. شکل یکسان به نظر می رسد اما برعکس شده است.
اتساع اندازه یک شکل را تغییر می دهد، یا بزرگ یا کوچک می شود، در حالی که شکل و نسبت آن را حفظ می کند. بزرگنمایی یا کوچک نمایی عکس روی یک عکس.
هندسه مختصات یا هندسه تحلیلی جبر و هندسه را برای توصیف موقعیت نقاط، خطوط و اشکال در فضا با استفاده از مختصات ترکیب می کند. سیستم مختصات دکارتی رایج ترین است، با محور افقی \(x\) و یک محور عمودی \(y\) .
در این سیستم، نقاط با جفت های مرتب شده \((x, y)\) تعریف می شوند. خطوط را می توان با معادلاتی مانند \(y = mx + b\) توصیف کرد، که در آن \(m\) شیب و \(b\) مقطع y است. شیب زاویه و جهت خط را نشان می‌دهد، در حالی که نقطه قطع y جایی است که خط از محور \(y\) می‌گذرد.
هندسه کاربردهای عملی گسترده ای دارد. در معماری و مهندسی برای طراحی و تحلیل سازه ها استفاده می شود. در هنر، هندسه بر ترکیب و دیدگاه تأثیر می گذارد. در گرافیک کامپیوتری، الگوریتم های هندسی اشکال و بافت ها را ارائه می دهند. در ناوبری، مفاهیم هندسی در ترسیم دوره ها و نقشه ها کمک می کند.
علاوه بر این، هندسه نقش حیاتی در مطالعه جهان دارد. ستاره شناسان از آن برای محاسبه فاصله ستاره ها و کهکشان ها استفاده می کنند. جغرافی‌دانان از آن برای درک شکل و اندازه زمین استفاده می‌کنند و در زمینه‌های بی‌شماری دیگر، هندسه به حل مسئله و نوآوری کمک می‌کند.
هندسه با اصول و روش های خود، درک ما از جهان را شکل می دهد. چه از طریق طراحی پیچیده یک پل، الگوی یک لحاف یا مدار یک سیاره، هندسه به ما کمک می کند تا در محیط خود تفسیر و ایجاد کنیم.
