ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो आकार, माप और स्थान के गुणों से संबंधित है। इसमें आकृतियों और उनके संबंधों का वर्णन करने वाले नियमों को समझना शामिल है। अध्ययन के इस मौलिक क्षेत्र में कला, वास्तुकला, भौतिकी और इंजीनियरिंग सहित कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।
ज्यामिति कुछ बुनियादी अवधारणाओं पर आधारित है: बिंदु, रेखाएँ, समतल, कोण और आकृतियाँ। अधिक जटिल ज्यामितीय विचारों का अध्ययन करने के लिए इन अवधारणाओं को समझना आवश्यक है।
बिंदु सबसे सरल ज्यामितीय रूप हैं, जो बिना किसी आकार, आकृति या आयाम के अंतरिक्ष में एक विशिष्ट स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं। जबकि हम चित्रों में बिंदुओं को बिंदुओं के रूप में दर्शाते हैं, गणितीय रूप से, वे अमूर्त हैं।
रेखाओं को दो विपरीत दिशाओं में फैले बिंदुओं के अनंत समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। रेखाओं की लंबाई तो होती है लेकिन मोटाई नहीं होती, जिससे वे एक-आयामी बन जाती हैं। रेखाखंड और किरणें एक रेखा के भाग हैं। एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं, और एक किरण अपने उद्गम बिंदु से एक दिशा में अनंत तक फैली होती है।
समतल समतल सतहें होती हैं जो सभी दिशाओं में अनंत रूप से फैली होती हैं। समतल को कागज़ की एक शीट के रूप में कल्पना करें जिसके किनारे नहीं हैं। समतल द्वि-आयामी होते हैं, जिनमें लंबाई और चौड़ाई होती है लेकिन मोटाई नहीं होती।
कोण तब बनते हैं जब दो किरणें शीर्ष नामक बिंदु पर मिलती हैं। दो किरणों के बीच घुमाव की मात्रा को डिग्री में मापा जाता है। कोण न्यून (90 डिग्री से कम), अधिक (90 डिग्री से अधिक लेकिन 180 डिग्री से कम), समकोण (बिल्कुल 90 डिग्री) या सीधे (180 डिग्री) हो सकते हैं।
मूल आकृतियों में त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और बहुभुज शामिल हैं। प्रत्येक आकृति के साथ अद्वितीय गुण और सूत्र जुड़े होते हैं।
त्रिभुज तीन भुजाओं वाले बहुभुज होते हैं और इन्हें भुजाओं या कोणों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। भुजाओं के आधार पर, वे समबाहु (सभी भुजाएँ बराबर), समद्विबाहु (दो भुजाएँ बराबर) या विषमबाहु (कोई भुजा बराबर नहीं) हो सकते हैं। कोणों के आधार पर, त्रिभुज न्यूनकोण, अधिककोण या समकोण हो सकते हैं।
किसी भी त्रिभुज में आंतरिक कोणों का योग सदैव \(180^\circ\) है।
चतुर्भुज चार भुजाओं वाले बहुभुज होते हैं। सामान्य चतुर्भुजों में वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज शामिल हैं। प्रत्येक के अलग-अलग गुण होते हैं:
वृत्त एक समतल आकृति है जिसे समतल में सभी बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। वृत्तों के महत्वपूर्ण गुणों में परिधि (वृत्त की परिधि) और क्षेत्रफल शामिल हैं। परिधि (C) \(C = 2\pi r\) द्वारा दी जाती है, और क्षेत्रफल (A) \(A = \pi r^2\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(r\) वृत्त की त्रिज्या है।
परिधि किसी आकृति के चारों ओर की दूरी होती है, और क्षेत्रफल किसी आकृति के भीतर संलग्न स्थान को मापता है। उदाहरण के लिए, लंबाई \(l\) और चौड़ाई \(w\) वाले आयत की परिधि \(2l + 2w\) है, और इसका क्षेत्रफल \(lw\) है। आधार \(b\) और ऊँचाई \(h\) वाले त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}bh\) है।
ज्यामितीय परिवर्तनों में अनुवाद (स्लाइडिंग), रोटेशन (मोड़ना), परावर्तन (फ़्लिपिंग) और फैलाव (आकार बदलना) शामिल हैं। ये ऑपरेशन आकृतियों की स्थिति या आकार को उनके मूल गुणों में बदलाव किए बिना बदलते हैं।
ट्रांसलेशन एक आकृति के हर बिंदु को एक ही दिशा में समान दूरी पर ले जाता है। कल्पना करें कि आप एक किताब को टेबल पर सरका रहे हैं। किताब हिलती है लेकिन घूमती या पलटती नहीं है।
घुमाव किसी आकृति को उसके आकार या आकृति में कोई परिवर्तन किए बिना एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाता है। एक चाबी को ताले के चारों ओर घुमाने के बारे में सोचें। चाबी घूमती है लेकिन उसका आकार वही रहता है।
परावर्तन एक रेखा के पार एक आकृति का दर्पण प्रतिबिंब बनाता है जिसे परावर्तन अक्ष कहा जाता है। कल्पना करें कि आप दर्पण में एक आकृति को देख रहे हैं; आकृति वही दिखती है लेकिन उलटी है।
फैलाव किसी आकृति के आकार को बदल देता है, या तो उसे बड़ा या छोटा कर देता है, जबकि उसका आकार और अनुपात बना रहता है। तस्वीर को ज़ूम इन या ज़ूम आउट करना।
निर्देशांक ज्यामिति, या विश्लेषणात्मक ज्यामिति, निर्देशांक का उपयोग करके अंतरिक्ष में बिंदुओं, रेखाओं और आकृतियों की स्थिति का वर्णन करने के लिए बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है। कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली सबसे आम है, जिसमें एक क्षैतिज \(x\) -अक्ष और एक ऊर्ध्वाधर \(y\) -अक्ष होता है।
इस प्रणाली में, बिंदुओं को क्रमित युग्म \((x, y)\) द्वारा परिभाषित किया जाता है। रेखाओं को \(y = mx + b\) जैसे समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहाँ \(m\) ढलान है और \(b\) y-अवरोधन है। ढलान रेखा के कोण और दिशा को दर्शाता है, जबकि y-अवरोधन वह स्थान है जहाँ रेखा \(y\) -अक्ष को पार करती है।
ज्यामिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। वास्तुकला और इंजीनियरिंग में, इसका उपयोग संरचनाओं को डिजाइन करने और उनका विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। कला में, ज्यामिति रचना और परिप्रेक्ष्य को प्रभावित करती है। कंप्यूटर ग्राफिक्स में, ज्यामितीय एल्गोरिदम आकार और बनावट प्रस्तुत करते हैं। नेविगेशन में, ज्यामितीय अवधारणाएँ पाठ्यक्रम और मानचित्र बनाने में मदद करती हैं।
इसके अलावा, ज्यामिति ब्रह्मांड के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। खगोलविद इसका उपयोग तारों और आकाशगंगाओं की दूरी की गणना करने के लिए करते हैं। भूगोलवेत्ता इसका उपयोग पृथ्वी के आकार और माप को समझने के लिए करते हैं, और अनगिनत अन्य क्षेत्रों में, ज्यामिति समस्या समाधान और नवाचार में सहायता करती है।
ज्यामिति, अपने सिद्धांतों और विधियों के साथ, दुनिया के बारे में हमारी समझ को आकार देती है। चाहे पुल के जटिल डिजाइन के माध्यम से, रजाई के पैटर्न के माध्यम से, या किसी ग्रह की कक्षा के माध्यम से, ज्यामिति हमें अपने पर्यावरण के भीतर व्याख्या करने और बनाने में मदद करती है।
