Geometrija je grana matematike koja se bavi oblicima, veličinama i svojstvima prostora. Uključuje razumijevanje figura i pravila koja opisuju njihove odnose. Ovo temeljno područje studija ima primjenu u mnogim područjima uključujući umjetnost, arhitekturu, fiziku i inženjerstvo.
Geometrija je izgrađena na nekoliko osnovnih pojmova: točke, linije, ravnine, kutovi i figure. Razumijevanje ovih koncepata bitno je za proučavanje složenijih geometrijskih ideja.
Točke su najjednostavniji geometrijski oblici koji predstavljaju određeno mjesto u prostoru bez ikakve veličine, oblika ili dimenzije. Iako točke na crtežima predstavljamo kao točke, matematički su one apstraktne.
Pravci su definirani kao beskonačan skup točaka koje se protežu u dva suprotna smjera. Linije imaju duljinu, ali ne i debljinu, što ih čini jednodimenzionalnima. Odsječci i zrake su dijelovi pravca. Isječak ima dvije krajnje točke, a zraka se proteže beskonačno u jednom smjeru od svoje ishodišne točke.
Ravnine su ravne površine koje se beskonačno protežu u svim smjerovima. Zamislite avion kao list papira bez rubova. Ravnine su dvodimenzionalne, imaju duljinu i širinu, ali ne i debljinu.
Kutovi nastaju kada se dvije zrake susreću u točki koja se naziva vrh. Količina zaokreta između dviju zraka mjeri se u stupnjevima. Kutovi mogu biti oštri (manji od 90 stupnjeva), tupi (više od 90 stupnjeva, ali manji od 180 stupnjeva), pravi (točno 90 stupnjeva) ili ravni (180 stupnjeva).
Osnovne figure uključuju trokute, četverokute, krugove i poligone. Svaka figura ima jedinstvena svojstva i formule povezane s njom.
Trokuti su trostrani mnogokuti i klasificirani su na temelju stranica ili kutova. Na temelju stranica mogu biti jednakostranične (sve stranice jednake), jednakokračne (dvije stranice jednake) ili skalene (nijedna stranica nije jednaka). Na temelju kutova, trokuti mogu biti šiljasti, tupi ili pravi.
Zbroj unutarnjih kutova u bilo kojem trokutu uvijek je \(180^\circ\) .
Četverokuti su četverostrani mnogokuti. Uobičajeni četverokuti uključuju kvadrate, pravokutnike, paralelograme, rombove i trapeze. Svaki ima različita svojstva:
Kružnica je ravna figura definirana kao skup svih točaka u ravnini koje su na zadanoj udaljenosti (polumjeru) od dane točke (središta). Važna svojstva krugova uključuju opseg (opseg kruga) i površinu. Opseg (C) je dan izrazom \(C = 2\pi r\) , a površina (A) je dan izrazom \(A = \pi r^2\) , gdje je \(r\) polumjer krug.
Opseg je udaljenost oko oblika, a područje mjeri prostor unutar oblika. Na primjer, opseg pravokutnika duljine \(l\) i širine \(w\) je \(2l + 2w\) , a njegova površina je \(lw\) . Za trokut s osnovicom \(b\) i visinom \(h\) , površina je \(\frac{1}{2}bh\) .
Geometrijske transformacije uključuju translaciju (klizanje), rotaciju (okretanje), refleksiju (okretanje) i dilataciju (promjenu veličine). Ove operacije mijenjaju položaj ili veličinu oblika bez mijenjanja njihovih osnovnih svojstava.
Translacija pomiče svaku točku oblika na istu udaljenost u istom smjeru. Zamislite da klizite knjigom preko stola. Knjiga se kreće, ali se ne okreće niti okreće.
Rotacija okreće oblik oko fiksne točke bez promjene njegove veličine ili oblika. Zamislite rotiranje ključa oko brave. Ključ se okreće, ali njegov oblik ostaje isti.
Refleksija stvara zrcalnu sliku oblika preko linije koja se naziva os refleksije. Zamislite da gledate oblik u ogledalu; oblik izgleda isto, ali je okrenut.
Dilatacija mijenja veličinu oblika, povećavajući ga ili smanjujući, zadržavajući njegov oblik i proporciju. Slika povećava ili smanjuje fotografiju.
Koordinatna geometrija, ili analitička geometrija, kombinira algebru i geometriju za opisivanje položaja točaka, linija i oblika u prostoru pomoću koordinata. Kartezijev koordinatni sustav je najčešći, s vodoravnom \(x\) -osi i okomitom \(y\) -osi.
U ovom sustavu točke su definirane uređenim parovima \((x, y)\) . Pravci se mogu opisati jednadžbama poput \(y = mx + b\) , gdje je \(m\) nagib, a \(b\) y-odsječak. Nagib predstavlja kut i smjer linije, dok je Y-odsjek mjesto gdje linija siječe \(y\) -os.
Geometrija ima širok raspon praktičnih primjena. U arhitekturi i inženjerstvu koristi se za projektiranje i analizu struktura. U umjetnosti geometrija utječe na kompoziciju i perspektivu. U računalnoj grafici, geometrijski algoritmi prikazuju oblike i teksture. U navigaciji, geometrijski pojmovi pomažu u crtanju kurseva i karata.
Štoviše, geometrija igra vitalnu ulogu u proučavanju svemira. Astronomi ga koriste za izračunavanje udaljenosti do zvijezda i galaksija. Geografi je koriste za razumijevanje oblika i veličine Zemlje, au bezbrojnim drugim područjima geometrija pomaže u rješavanju problema i inovacijama.
Geometrija svojim principima i metodama oblikuje naše razumijevanje svijeta. Bilo kroz zamršeni dizajn mosta, uzorak popluna ili orbitu planeta, geometrija nam pomaže tumačiti i stvarati unutar našeg okruženja.
