幾何学は、空間の形状、サイズ、特性を扱う数学の分野です。図形とそれらの関係を表す規則を理解することが含まれます。この基礎的な研究分野は、芸術、建築、物理学、工学など、多くの分野に応用されています。
幾何学は、点、線、平面、角度、図形といったいくつかの基本概念に基づいています。これらの概念を理解することは、より複雑な幾何学的概念を学ぶ上で不可欠です。
点は最も単純な幾何学的形状であり、大きさ、形状、寸法を持たずに空間内の特定の位置を表します。点を図面ではドットとして表しますが、数学的には抽象的です。
線は、2 つの反対方向に伸びる点の無限の集合として定義されます。線には長さはありますが太さがないため、1 次元です。線分と放射線は線の一部です。線分には 2 つの端点があり、放射線は起点から 1 つの方向に無限に伸びます。
平面は、あらゆる方向に無限に広がる平らな表面です。平面を、端のない一枚の紙として想像してください。平面は 2 次元で、長さと幅はありますが、厚さはありません。
角度は、2 本の光線が頂点と呼ばれる点で交わるときに形成されます。2 本の光線間の回転量は度で測定されます。角度は、鋭角(90 度未満)、鈍角(90 度以上 180 度未満)、直角(正確に 90 度)、または直線(180 度) になります。
基本図形には、三角形、四角形、円、多角形が含まれます。各図形には固有の特性と数式が関連付けられています。
三角形は 3 辺の多角形で、辺または角度に基づいて分類されます。辺に基づいて、三角形は正三角形(すべての辺が等しい)、二等辺三角形(2 つの辺が等しい)、不等辺三角形 (どの辺も等しい)に分類されます。角度に基づいて、三角形は鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形に分類されます。
任意の三角形の内角の合計は常に\(180^\circ\)です。
四辺形は 4 辺の多角形です。一般的な四辺形には、正方形、長方形、平行四辺形、ひし形、台形などがあります。それぞれに異なる特性があります。
円は、平面図形であり、特定の点 (中心) から特定の距離 (半径) にある平面上のすべての点の集合として定義されます。円の重要な特性には、円周 (円の周囲) と面積があります。円周 (C) は\(C = 2\pi r\)で表され、面積 (A) は\(A = \pi r^2\)で表されます。ここで、 \(r\)円の半径です。
周囲は図形の周囲の距離で、面積は図形内に囲まれた空間の面積を表します。たとえば、長さ\(l\)と幅\(w\)の長方形の周囲は\(2l + 2w\)で、面積は\(lw\)です。底辺\(b\)と高さ\(h\)の三角形の場合、面積は\(\frac{1}{2}bh\)です。
幾何学的変換には、平行移動 (スライド)、回転 (回転)、反射 (反転)、拡大 (サイズ変更) が含まれます。これらの操作は、図形の基本的なプロパティを変更することなく、図形の位置やサイズを変更します。
平行移動は、図形のすべての点を同じ方向に同じ距離だけ移動します。テーブル上で本を滑らせることを想像してください。本は動きますが、回転したり反転したりしません。
回転は、サイズや形状を変えずに、固定点を中心に形状を回転させます。鍵を錠の周りで回転させることを考えてみましょう。鍵は回転しますが、形状は同じままです。
反射は、反射軸と呼ばれる線を挟んで図形の鏡像を作成します。鏡で図形を見ると、図形は同じに見えますが、反転しています。
拡大/縮小は、形状と比率を維持しながら、図形のサイズを拡大または縮小します。写真を拡大または縮小します。
座標幾何学、または解析幾何学は、代数と幾何学を組み合わせて、座標を使用して空間内の点、線、および図形の位置を記述します。最も一般的なのは、水平の\(x\)軸と垂直の\(y\)軸を持つ直交座標系です。
このシステムでは、点は順序付きペア\((x, y)\)によって定義されます。線は\(y = mx + b\)などの方程式で表すことができます。ここで、 \(m\)は傾き、 \(b\)は y 切片です。傾きは線の角度と方向を表し、y 切片は線が\(y\)軸と交差する場所です。
幾何学は、実用的に幅広く応用されています。建築や工学では、構造の設計と分析に使用されます。芸術では、幾何学は構成と遠近法に影響を与えます。コンピュータ グラフィックスでは、幾何学アルゴリズムが形状とテクスチャをレンダリングします。航海では、幾何学の概念が航路や地図の作成に役立ちます。
さらに、幾何学は宇宙の研究において重要な役割を果たしています。天文学者は幾何学を使って星や銀河までの距離を計算します。地理学者は幾何学を使って地球の形や大きさを理解します。その他数え切れないほど多くの分野で、幾何学は問題解決や革新に役立っています。
幾何学は、その原理と手法によって、私たちの世界に対する理解を形作ります。橋の複雑なデザイン、キルトの模様、惑星の軌道など、幾何学は私たちが環境を解釈し、創造するのに役立ちます。
