Геометријата е гранка на математиката која се занимава со облици, големини и својства на просторот. Тоа вклучува разбирање на фигурите и правилата што ги опишуваат нивните односи. Ова основно поле на студии има апликации во многу области, вклучувајќи уметност, архитектура, физика и инженерство.
Геометријата е изградена на неколку основни концепти: точки, прави, рамнини, агли и фигури. Разбирањето на овие концепти е од суштинско значење за проучување на посложени геометриски идеи.
Точките се наједноставните геометриски форми, кои претставуваат одредена локација во просторот без никаква големина, форма или димензија. Додека точките во цртежите ги претставуваме како точки, математички тие се апстрактни.
Линиите се дефинирани како бесконечен сет на точки што се протегаат во две спротивни насоки. Линиите имаат должина, но немаат дебелина, што ги прави еднодимензионални. Линиските отсечки и зраци се делови од права. Линискиот сегмент има две крајни точки, а зракот се протега бесконечно во една насока од неговата точка на потекло.
Рамнините се рамни површини кои се протегаат бесконечно во сите правци. Замислете авион како лист хартија без рабови. Рамнините се дводимензионални, имаат должина и ширина, но без дебелина.
Аглите се формираат кога два зраци ќе се сретнат во точка наречена теме. Количината на вртење помеѓу двата зраци се мери во степени. Аглите можат да бидат остри (помалку од 90 степени), тапи (повеќе од 90 степени, но помали од 180 степени), правилни (точно 90 степени) или прави (180 степени).
Основните фигури вклучуваат триаголници, четириаголници, кругови и многуаголници. Секоја фигура има уникатни својства и формули поврзани со неа.
Триаголниците се тристрани многуаголници и се класифицирани врз основа на страни или агли. Врз основа на страните, тие можат да бидат рамнострани (сите страни се еднакви), рамнокрак (две страни еднакви) или скалести (нема еднакви страни). Врз основа на аглите, триаголниците можат да бидат остри, тапи или правилни.
Збирот на внатрешните агли во кој било триаголник е секогаш \(180^\circ\) .
Четириаголниците се четиристрани многуаголници. Вообичаените четириаголници вклучуваат квадрати, правоаголници, паралелограми, ромбови и трапезоиди. Секој од нив има различни својства:
Круг е рамна фигура дефинирана како множество од сите точки во рамнината кои се на дадено растојание (радиус) од дадена точка (центар). Важните својства на круговите вклучуваат обем (периметар на круг) и површина. Обемот (C) е даден со \(C = 2\pi r\) , а областа (A) е дадена со \(A = \pi r^2\) , каде што \(r\) е радиусот на кругот.
Периметарот е растојанието околу обликот, а областа го мери просторот затворен во форма. На пример, периметарот на правоаголник со должина \(l\) и ширина \(w\) е \(2l + 2w\) , а неговата површина е \(lw\) . За триаголник со основа \(b\) и висина \(h\) , плоштината е \(\frac{1}{2}bh\) .
Геометриските трансформации вклучуваат транслација (лизгање), ротација (вртење), рефлексија (превртување) и проширување (промена на големината). Овие операции ја менуваат положбата или големината на облиците без да ги менуваат нивните основни својства.
Преводот ја поместува секоја точка од обликот на исто растојание во иста насока. Замислете како лизгате книга преку маса. Книгата се движи, но не се ротира или превртува.
Ротацијата врти облик околу фиксна точка без да ја менува нејзината големина или форма. Размислете за ротирање на клуч околу бравата. Клучот се врти, но неговата форма останува иста.
Рефлексијата создава огледална слика на форма преку линија наречена оска на рефлексија. Замислете да гледате форма во огледало; формата изгледа исто, но е превртена.
Проширувањето ја менува големината на обликот, или зголемувајќи се или намалувајќи, додека ја задржува формата и пропорцијата. Зумирање или намалување на сликата на фотографијата.
Координативната геометрија или аналитичката геометрија ги комбинира алгебрата и геометријата за да ја опише положбата на точките, линиите и формите во просторот користејќи координати. Декартовиот координатен систем е најчест, со хоризонтална \(x\) -оска и вертикална \(y\) -оска.
Во овој систем, точките се дефинираат со подредени парови \((x, y)\) . Линиите може да се опишат со равенки како што се \(y = mx + b\) , каде што \(m\) е наклонот и \(b\) е y-пресекот. Наклонот го претставува аголот и насоката на правата, додека y-пресекот е местото каде што линијата ја преминува оската \(y\) .
Геометријата има широк опсег на практични примени. Во архитектурата и инженерството, се користи за дизајнирање и анализа на структури. Во уметноста, геометријата влијае на составот и перспективата. Во компјутерската графика, геометриските алгоритми прикажуваат форми и текстури. Во навигацијата, геометриските концепти помагаат при исцртување на курсеви и мапи.
Покрај тоа, геометријата игра витална улога во проучувањето на универзумот. Астрономите го користат за пресметување на растојанијата до ѕвездите и галаксиите. Географите го користат за да ја разберат формата и големината на земјата, а во безброј други полиња, геометријата помага во решавање на проблеми и иновации.
Геометријата, со своите принципи и методи, го обликува нашето разбирање на светот. Без разлика дали преку сложениот дизајн на мостот, моделот на јорган или орбитата на планетата, геометријата ни помага да интерпретираме и создаваме во нашата околина.
