ज्यामिति गणितको एउटा शाखा हो जुन आकार, आकार र ठाउँका गुणहरूसँग सम्बन्धित छ। यसले आंकडाहरू र तिनीहरूको सम्बन्धहरू वर्णन गर्ने नियमहरू बुझ्न समावेश गर्दछ। अध्ययनको यो आधारभूत क्षेत्र कला, वास्तुकला, भौतिक विज्ञान, र ईन्जिनियरिङ् सहित धेरै क्षेत्रहरूमा आवेदन छ।
ज्यामिति केही आधारभूत अवधारणाहरूमा बनाइएको छ: बिन्दुहरू, रेखाहरू, विमानहरू, कोणहरू, र आंकडाहरू। यी अवधारणाहरू बुझ्न थप जटिल ज्यामितीय विचारहरू अध्ययन गर्न आवश्यक छ।
बिन्दुहरू सबैभन्दा सरल ज्यामितीय रूपहरू हुन्, कुनै आकार, आकार, वा आयाम बिना अन्तरिक्षमा एक विशिष्ट स्थान प्रतिनिधित्व गर्दछ। जब हामी रेखाचित्रमा बिन्दुहरूलाई बिन्दुहरूको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्छौं, गणितीय रूपमा, तिनीहरू सार हुन्।
रेखाहरूलाई दुई विपरीत दिशाहरूमा विस्तारित बिन्दुहरूको असीम सेटको रूपमा परिभाषित गरिन्छ। रेखाहरूको लम्बाइ छ तर मोटाई छैन, तिनीहरूलाई एक-आयामी बनाउँछ। रेखा खण्डहरू र किरणहरू रेखाका भागहरू हुन्। रेखा खण्डमा दुईवटा अन्तिम बिन्दुहरू हुन्छन्, र एउटा किरण यसको उत्पत्ति बिन्दुबाट एक दिशामा असीम रूपमा विस्तार हुन्छ।
विमानहरू समतल सतहहरू हुन् जुन सबै दिशाहरूमा असीमित रूपमा विस्तार हुन्छ। कुनै किनार बिनाको कागजको पानाको रूपमा विमानलाई कल्पना गर्नुहोस्। विमानहरू दुई-आयामी हुन्छन्, लम्बाइ र चौडाइ हुन्छन् तर मोटाइ हुँदैन।
दुई किरणहरू भेर्टेक्स भनिने बिन्दुमा मिल्दा कोणहरू बन्छन्। दुई किरणहरू बीचको घुमाइको मात्रा डिग्रीमा मापन गरिन्छ। कोणहरू तीव्र (90 डिग्री भन्दा कम), कुरूप (90 डिग्री भन्दा बढी तर 180 डिग्री भन्दा कम), दायाँ (ठीक 90 डिग्री), वा सीधा (180 डिग्री) हुन सक्छ।
आधारभूत चित्रहरूमा त्रिकोण, चतुर्भुज, वृत्त र बहुभुजहरू समावेश छन्। प्रत्येक आकृतिसँग सम्बन्धित अद्वितीय गुणहरू र सूत्रहरू छन्।
त्रिभुजहरू तीन-पक्षीय बहुभुजहरू हुन् र पक्षहरू वा कोणहरूमा आधारित वर्गीकृत हुन्छन्। पक्षहरूको आधारमा, तिनीहरू समभुज (सबै पक्षहरू बराबर), समद्विबाहु (दुई पक्षहरू बराबर), वा स्केलेन (कुनै पनि पक्षहरू बराबर) हुन सक्छन्। कोणहरूमा आधारित, त्रिभुजहरू तीव्र, कुरूप, वा दायाँ हुन सक्छन्।
कुनै पनि त्रिभुजमा आन्तरिक कोणहरूको योग सधैं \(180^\circ\) हुन्छ।
चतुर्भुजहरू चार-पक्षीय बहुभुजहरू हुन्। सामान्य चतुर्भुजहरूमा वर्ग, आयत, समानान्तर चतुर्भुज, रम्बसहरू, र ट्रापेजोइडहरू समावेश छन्। प्रत्येकसँग फरक गुणहरू छन्:
सर्कल एक समतल आकृति हो जुन विमानमा सबै बिन्दुहरूको सेटको रूपमा परिभाषित गरिएको छ जुन दिइएको बिन्दु (केन्द्र) बाट दिइएको दूरी (त्रिज्या) मा छन्। सर्कलहरूको महत्त्वपूर्ण गुणहरू परिधि (वृत्तको परिधि) र क्षेत्र समावेश गर्दछ। परिधि (C) \(C = 2\pi r\) द्वारा दिइएको छ, र क्षेत्र (A) \(A = \pi r^2\) द्वारा दिइएको छ, जहाँ \(r\) को त्रिज्या हो। सर्कल।
परिधि कुनै आकारको वरिपरिको दूरी हो, र क्षेत्रले आकार भित्र संलग्न ठाउँलाई नाप्छ। उदाहरणका लागि, लम्बाइ \(l\) र चौडाइ \(w\) भएको आयतको परिधि \(2l + 2w\) हो, र यसको क्षेत्रफल \(lw\) हो। आधार \(b\) र उचाइ \(h\) भएको त्रिकोणको लागि, क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}bh\) हो।
ज्यामितीय रूपान्तरणहरूमा अनुवाद (स्लाइडिङ), रोटेशन (टर्निङ), प्रतिबिम्ब (फ्लिपिङ), र फैलावट (रिसाइज) समावेश छ। यी सञ्चालनहरूले तिनीहरूको मौलिक गुणहरू परिवर्तन नगरी आकारहरूको स्थिति वा आकार परिवर्तन गर्दछ।
अनुवादले आकारको प्रत्येक बिन्दुलाई एउटै दिशामा समान दूरीमा सार्दछ। टेबलमा एउटा पुस्तक स्लाइड गर्ने कल्पना गर्नुहोस्। किताब चल्छ तर घुम्दैन वा पल्टाउँदैन।
परिक्रमाले आकार वा आकार परिवर्तन नगरी एक निश्चित बिन्दुको वरिपरि आकार बदल्छ। तालाको वरिपरि कुञ्जी घुमाउने बारे सोच्नुहोस्। कुञ्जी घुम्छ तर यसको आकार उस्तै रहन्छ।
प्रतिबिम्बले रेखामा आकारको मिरर छवि सिर्जना गर्दछ जसलाई प्रतिबिम्बको अक्ष भनिन्छ। ऐनामा आकार हेरेर कल्पना गर्नुहोस्; आकार उस्तै देखिन्छ तर पल्टिएको छ।
फैलावटले आकारको आकार परिवर्तन गर्दछ, या त बढाउँदै वा घटाउँदै, यसको आकार र अनुपात राख्दै। फोटोमा जूम इन वा आउट गर्ने तस्विर।
समन्वय ज्यामिति, वा विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अंकहरू, रेखाहरू, र अन्तरिक्षमा आकारहरूको स्थान वर्णन गर्न बीजगणित र ज्यामितिलाई संयोजन गर्दछ। तेर्सो \(x\) -अक्ष र ठाडो \(y\) -अक्षको साथ, कार्टेसियन समन्वय प्रणाली सबैभन्दा सामान्य हो।
यस प्रणालीमा, बिन्दुहरूलाई क्रमबद्ध जोडीहरू द्वारा परिभाषित गरिन्छ \((x, y)\) । रेखाहरूलाई समीकरणहरू द्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ जस्तै \(y = mx + b\) , जहाँ \(m\) ढलान हो र \(b\) y-अवरोधन हो। ढलानले रेखाको कोण र दिशालाई प्रतिनिधित्व गर्दछ, जबकि y-अवरोध भनेको रेखाले \(y\) -अक्षलाई पार गर्छ।
ज्यामितिमा व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूको विस्तृत दायरा छ। वास्तुकला र ईन्जिनियरिङ् मा, यो संरचना डिजाइन र विश्लेषण गर्न प्रयोग गरिन्छ। कलामा, ज्यामितिले संरचना र परिप्रेक्ष्यलाई प्रभाव पार्छ। कम्प्युटर ग्राफिक्समा, ज्यामितीय एल्गोरिदमले आकार र बनावटहरू प्रस्तुत गर्दछ। नेभिगेसनमा, ज्यामितीय अवधारणाहरूले पाठ्यक्रमहरू र नक्साहरू प्लट गर्न मद्दत गर्दछ।
यसबाहेक, ज्यामितिले ब्रह्माण्डको अध्ययनमा महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छ। खगोलविद्हरूले यसलाई तारा र आकाशगंगाहरूको दूरी गणना गर्न प्रयोग गर्छन्। भूगोलविद्हरूले यसलाई पृथ्वीको आकार र आकार बुझ्न प्रयोग गर्छन्, र अनगिन्ती अन्य क्षेत्रहरूमा, ज्यामितिले समस्या समाधान र नवीनतामा मद्दत गर्दछ।
ज्यामिति, यसको सिद्धान्त र विधिहरूको साथ, संसारको हाम्रो बुझाइलाई आकार दिन्छ। चाहे पुलको जटिल डिजाइन, रजाईको ढाँचा, वा ग्रहको कक्षा, ज्यामितिले हामीलाई हाम्रो वातावरण भित्र व्याख्या गर्न र सिर्जना गर्न मद्दत गर्दछ।
