Geometria to dział matematyki zajmujący się kształtami, rozmiarami i właściwościami przestrzeni. Wymaga zrozumienia postaci i zasad opisujących ich relacje. Ten podstawowy kierunek studiów ma zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w sztuce, architekturze, fizyce i inżynierii.
Geometria opiera się na kilku podstawowych pojęciach: punktach, liniach, płaszczyznach, kątach i figurach. Zrozumienie tych pojęć jest niezbędne do studiowania bardziej złożonych idei geometrycznych.
Punkty to najprostsze formy geometryczne, reprezentujące określone miejsce w przestrzeni, bez żadnego rozmiaru, kształtu czy wymiaru. Chociaż punkty na rysunkach przedstawiamy jako kropki, matematycznie są one abstrakcyjne.
Linie definiuje się jako nieskończony zbiór punktów rozciągających się w dwóch przeciwnych kierunkach. Linie mają długość, ale nie mają grubości, co czyni je jednowymiarowymi. Odcinki i półproste są częściami linii. Odcinek linii ma dwa punkty końcowe, a półprosta rozciąga się w nieskończoność w jednym kierunku od punktu początkowego.
Płaszczyzny to płaskie powierzchnie rozciągające się w nieskończoność we wszystkich kierunkach. Wyobraź sobie samolot jako kartkę papieru bez krawędzi. Płaszczyzny są dwuwymiarowe, mają długość i szerokość, ale nie mają grubości.
Kąty powstają, gdy dwa promienie spotykają się w punkcie zwanym wierzchołkiem. Wielkość obrotu między dwoma promieniami mierzona jest w stopniach. Kąty mogą być ostre (mniejsze niż 90 stopni), rozwarte (więcej niż 90 stopni, ale mniej niż 180 stopni), proste (dokładnie 90 stopni) lub proste (180 stopni).
Podstawowe figury obejmują trójkąty, czworokąty, koła i wielokąty. Każda figura ma unikalne właściwości i związane z nią formuły.
Trójkąty są wielokątami trójbocznymi i są klasyfikowane na podstawie boków lub kątów. W oparciu o boki mogą być równoboczne (wszystkie boki równe), równoramienne (dwa boki równe) lub pochyłe (żadne boki nie są równe). Ze względu na kąty trójkąty mogą być ostre, rozwarte lub proste.
Suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi zawsze \(180^\circ\) .
Czworokąty to wielokąty czteroboczne. Typowe czworoboki obejmują kwadraty, prostokąty, równoległoboki, romby i trapezy. Każdy ma inne właściwości:
Okrąg to figura płaska, definiowana jako zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w określonej odległości (promieniu) od danego punktu (środka). Do ważnych właściwości okręgów zalicza się obwód (obwód koła) i powierzchnię. Obwód (C) jest określony przez \(C = 2\pi r\) , a powierzchnia (A) jest określona przez \(A = \pi r^2\) , gdzie \(r\) jest promieniem okrąg.
Obwód to odległość wokół kształtu, a powierzchnia mierzy przestrzeń zamkniętą w kształcie. Na przykład obwód prostokąta o długości \(l\) i szerokości \(w\) wynosi \(2l + 2w\) , a jego powierzchnia wynosi \(lw\) . W przypadku trójkąta o podstawie \(b\) i wysokości \(h\) pole wynosi \(\frac{1}{2}bh\) .
Transformacje geometryczne obejmują translację (przesuwanie), obrót (obracanie), odbicie (odwracanie) i dylatację (zmianę rozmiaru). Operacje te zmieniają położenie lub rozmiar kształtów bez zmiany ich podstawowych właściwości.
Tłumaczenie przesuwa każdy punkt kształtu na tę samą odległość w tym samym kierunku. Wyobraź sobie przesuwanie książki po stole. Książka porusza się, ale nie obraca się ani nie przewraca.
Obrót obraca kształt wokół stałego punktu bez zmiany jego rozmiaru i kształtu. Pomyśl o obróceniu klucza wokół zamka. Klucz obraca się, ale jego kształt pozostaje ten sam.
Odbicie tworzy lustrzane odbicie kształtu wzdłuż linii zwanej osią odbicia. Wyobraź sobie, że patrzysz na kształt w lustrze; kształt wygląda tak samo, ale jest odwrócony.
Dylatacja zmienia rozmiar kształtu, powiększając lub zmniejszając, zachowując jego kształt i proporcje. Powiększanie lub pomniejszanie obrazu na zdjęciu.
Geometria współrzędnych lub geometria analityczna łączy algebrę i geometrię w celu opisania położenia punktów, linii i kształtów w przestrzeni za pomocą współrzędnych. Najpopularniejszy jest kartezjański układ współrzędnych, z poziomą osią \(x\) i pionową osią \(y\) .
W tym systemie punkty są definiowane przez uporządkowane pary \((x, y)\) . Linie można opisać za pomocą równań takich jak \(y = mx + b\) , gdzie \(m\) to nachylenie, a \(b\) to punkt przecięcia z osią y. Nachylenie reprezentuje kąt i kierunek linii, natomiast punkt przecięcia z osią Y to miejsce, w którym linia przecina oś \(y\) .
Geometria ma szerokie zastosowanie praktyczne. W architekturze i inżynierii służy do projektowania i analizowania konstrukcji. W sztuce geometria wpływa na kompozycję i perspektywę. W grafice komputerowej algorytmy geometryczne renderują kształty i tekstury. W nawigacji koncepcje geometryczne pomagają w wyznaczaniu kursów i map.
Co więcej, geometria odgrywa istotną rolę w badaniu wszechświata. Astronomowie używają go do obliczania odległości do gwiazd i galaktyk. Geografowie używają jej do zrozumienia kształtu i wielkości Ziemi, a w niezliczonych innych dziedzinach geometria pomaga w rozwiązywaniu problemów i innowacjach.
Geometria wraz ze swoimi zasadami i metodami kształtuje nasze rozumienie świata. Niezależnie od tego, czy chodzi o skomplikowany projekt mostu, wzór kołdry, czy orbitę planety, geometria pomaga nam interpretować i tworzyć w naszym środowisku.
