Gjeometria është një degë e matematikës që merret me format, madhësitë dhe vetitë e hapësirës. Ai përfshin të kuptuarit e figurave dhe rregullave që përshkruajnë marrëdhëniet e tyre. Kjo fushë themelore e studimit ka aplikime në shumë fusha duke përfshirë artin, arkitekturën, fizikën dhe inxhinierinë.
Gjeometria bazohet në disa koncepte bazë: pika, vija, plane, kënde dhe figura. Kuptimi i këtyre koncepteve është thelbësor për të studiuar ide më komplekse gjeometrike.
Pikat janë format më të thjeshta gjeometrike, që përfaqësojnë një vendndodhje specifike në hapësirë pa asnjë madhësi, formë ose dimension. Ndërsa pikat në vizatime i përfaqësojmë si pika, matematikisht ato janë abstrakte.
Linjat përcaktohen si një grup i pafund pikash që shtrihen në dy drejtime të kundërta. Linjat kanë gjatësi por jo trashësi, duke i bërë ato njëdimensionale. Segmentet dhe rrezet e vijës janë pjesë e një vije. Një segment vije ka dy pika fundore dhe një rreze shtrihet pafundësisht në një drejtim nga pika e saj e origjinës.
Planet janë sipërfaqe të sheshta që shtrihen pafundësisht në të gjitha drejtimet. Imagjinoni një aeroplan si një fletë letre pa buzë. Planet janë dy-dimensionale, kanë gjatësi dhe gjerësi, por pa trashësi.
Këndet formohen kur dy rreze takohen në një pikë të quajtur kulm. Sasia e kthesës midis dy rrezeve matet në gradë. Këndet mund të jenë akute (më pak se 90 gradë), të mpirë (më shumë se 90 gradë por më pak se 180 gradë), të drejta (saktësisht 90 gradë) ose të drejta (180 gradë).
Figurat bazë përfshijnë trekëndëshat, katërkëndëshat, rrathët dhe shumëkëndëshat. Çdo figurë ka veti dhe formula unike që lidhen me të.
Trekëndëshat janë shumëkëndësha me tre anë dhe klasifikohen në bazë të brinjëve ose këndeve. Në bazë të brinjëve, ato mund të jenë barabrinjës (të gjitha anët të barabarta), isosceles (dy anët të barabarta) ose skale (asnjë anët e barabarta). Në bazë të këndeve, trekëndëshat mund të jenë të mprehtë, të mpirë ose të drejtë.
Shuma e këndeve të brendshme në çdo trekëndësh është gjithmonë \(180^\circ\) .
Katërkëndëshat janë shumëkëndësha me katër anë. Katërkëndëshat e zakonshëm përfshijnë katrorët, drejtkëndëshat, paralelogramet, rombët dhe trapezoidët. Secili ka veti të veçanta:
Rrethi është një figurë e rrafshët e përcaktuar si bashkësia e të gjitha pikave në një plan që janë në një distancë të caktuar (rreze) nga një pikë (qendër) e caktuar. Vetitë e rëndësishme të rrathëve përfshijnë perimetrin (perimetrin e një rrethi) dhe zonën. Perimetri (C) jepet nga \(C = 2\pi r\) , dhe zona (A) jepet nga \(A = \pi r^2\) , ku \(r\) është rrezja e rrethi.
Perimetri është distanca rreth një forme dhe zona mat hapësirën e mbyllur brenda një forme. Për shembull, perimetri i një drejtkëndëshi me gjatësi \(l\) dhe gjerësi \(w\) është \(2l + 2w\) dhe sipërfaqja e tij është \(lw\) . Për një trekëndësh me bazë \(b\) dhe lartësi \(h\) , zona është \(\frac{1}{2}bh\) .
Transformimet gjeometrike përfshijnë përkthimin (rrëshqitjen), rrotullimin (kthimin), reflektimin (rrokullisjen) dhe zgjerimin (ndryshimin e madhësisë). Këto operacione ndryshojnë pozicionin ose madhësinë e formave pa ndryshuar vetitë e tyre themelore.
Përkthimi lëviz çdo pikë të një forme në të njëjtën distancë në të njëjtin drejtim. Imagjinoni të rrëshqitni një libër mbi një tavolinë. Libri lëviz, por nuk rrotullohet apo rrokulliset.
Rrotullimi kthen një formë rreth një pike fikse pa ndryshuar madhësinë ose formën e saj. Mendoni të rrotulloni një çelës rreth një bllokimi. Çelësi kthehet por forma e tij mbetet e njëjtë.
Reflektimi krijon një imazh pasqyre të një forme përgjatë një linje të quajtur bosht reflektimi. Imagjinoni të shikoni një formë në një pasqyrë; forma duket e njëjtë, por është e kthyer.
Zgjerimi ndryshon madhësinë e një forme, ose zmadhohet ose zvogëlohet, duke ruajtur formën dhe proporcionin e saj. Zmadhimi ose zvogëlimi i figurës në një fotografi.
Gjeometria e koordinatave, ose gjeometria analitike, kombinon algjebrën dhe gjeometrinë për të përshkruar pozicionin e pikave, vijave dhe formave në hapësirë duke përdorur koordinatat. Sistemi i koordinatave karteziane është më i zakonshmi, me një bosht horizontal \(x\) dhe një bosht vertikal \(y\) .
Në këtë sistem, pikat përcaktohen me çifte të renditura \((x, y)\) . Linjat mund të përshkruhen me ekuacione të tilla si \(y = mx + b\) , ku \(m\) është pjerrësia dhe \(b\) është ndërprerja y. Pjerrësia përfaqëson këndin dhe drejtimin e vijës, ndërsa prerja y është vendi ku vija kalon aksin \(y\) -.
Gjeometria ka një gamë të gjerë aplikimesh praktike. Në arkitekturë dhe inxhinieri, përdoret për të projektuar dhe analizuar strukturat. Në art, gjeometria ndikon në përbërjen dhe perspektivën. Në grafikën kompjuterike, algoritmet gjeometrike japin forma dhe tekstura. Në lundrim, konceptet gjeometrike ndihmojnë në hartimin e kurseve dhe hartave.
Për më tepër, gjeometria luan një rol jetik në studimin e universit. Astronomët e përdorin atë për të llogaritur distancat me yjet dhe galaktikat. Gjeografët e përdorin atë për të kuptuar formën dhe madhësinë e tokës, dhe në fusha të tjera të panumërta, gjeometria ndihmon në zgjidhjen e problemeve dhe inovacionin.
Gjeometria, me parimet dhe metodat e saj, formon kuptimin tonë për botën. Qoftë përmes dizajnit të ndërlikuar të një ure, modelit të një jorgani ose orbitës së një planeti, gjeometria na ndihmon të interpretojmë dhe krijojmë brenda mjedisit tonë.
