เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับรูปร่าง ขนาด และคุณสมบัติของปริภูมิ มันเกี่ยวข้องกับการทำความเข้าใจตัวเลขและกฎเกณฑ์ที่อธิบายความสัมพันธ์ของพวกเขา สาขาวิชาพื้นฐานนี้มีการใช้งานในหลายสาขา เช่น ศิลปะ สถาปัตยกรรม ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์
เรขาคณิตสร้างขึ้นจากแนวคิดพื้นฐานบางประการ ได้แก่ จุด เส้น ระนาบ มุม และตัวเลข การทำความเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ถือเป็นสิ่งสำคัญในการศึกษาแนวคิดทางเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้น
จุด เป็นรูปแบบเรขาคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งแสดงถึงตำแหน่งเฉพาะในอวกาศโดยไม่มีขนาด รูปร่าง หรือมิติใดๆ แม้ว่าเราจะแสดงจุดในภาพวาดเป็นจุด แต่ในทางคณิตศาสตร์ มันเป็นนามธรรม
เส้น ถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งขยายออกไปในสองทิศทางตรงกันข้าม เส้นมีความยาวแต่ไม่มีความหนา ทำให้เป็นเส้นเดียว ส่วนของเส้น และ รังสี เป็นส่วนหนึ่งของเส้น ส่วนของเส้นตรงมีจุดสิ้นสุดสองจุด และรังสีขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางเดียวจากจุดกำเนิด
ระนาบ เป็นพื้นผิวเรียบที่ขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดในทุกทิศทาง ลองนึกภาพเครื่องบินเป็นแผ่นกระดาษที่ไม่มีขอบ ระนาบมีสองมิติ มีความยาวและความกว้าง แต่ไม่มีความหนา
มุม เกิดขึ้นเมื่อรังสีสองดวงมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด ปริมาณการหมุนระหว่างรังสีทั้งสองจะวัดเป็นองศา มุมอาจเป็น มุมแหลม (น้อยกว่า 90 องศา) มุมป้าน (มากกว่า 90 องศาแต่น้อยกว่า 180 องศา) มุมขวา (90 องศาพอดี) หรือ มุมตรง (180 องศา)
ตัวเลขพื้นฐาน ได้แก่ สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม วงกลม และรูปหลายเหลี่ยม แต่ละร่างมีคุณสมบัติและสูตรเฉพาะที่เกี่ยวข้องกัน
สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมสามด้านและจำแนกตามด้านหรือมุม ขึ้นอยู่กับด้านต่างๆ อาจเป็น ด้านเท่ากันหมด (ทุกด้านเท่ากัน) หน้าจั่ว (สองด้านเท่ากัน) หรือด้านไม่เท่า กัน (ไม่มีด้านเท่ากัน) รูปสามเหลี่ยมอาจเป็น รูปแหลม รูปป้าน หรือรูปสามเหลี่ยม ก็ได้ ขึ้นอยู่กับมุม
ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมใดๆ จะเป็น \(180^\circ\) เสมอ
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั่วไปได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ละคนมีคุณสมบัติที่แตกต่างกัน:
วงกลมคือรูประนาบที่กำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนด (ศูนย์กลาง) ในระยะที่กำหนด (รัศมี) คุณสมบัติที่สำคัญของวงกลม ได้แก่ เส้นรอบวง (เส้นรอบวงของวงกลม) และพื้นที่ เส้นรอบวง (C) กำหนดโดย \(C = 2\pi r\) และพื้นที่ (A) กำหนดโดย \(A = \pi r^2\) โดยที่ \(r\) คือรัศมีของ วงกลม
เส้นรอบรูปคือระยะทางรอบรูปร่าง และพื้นที่วัดพื้นที่ที่อยู่ภายในรูปร่าง ตัวอย่างเช่น เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว \(l\) และความกว้าง \(w\) คือ \(2l + 2w\) และพื้นที่ของมันคือ \(lw\) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีฐาน \(b\) และความสูง \(h\) พื้นที่คือ \(\frac{1}{2}bh\)
การแปลงทางเรขาคณิตประกอบด้วยการแปล (การเลื่อน) การหมุน (การหมุน) การสะท้อน (การพลิก) และการขยาย (การปรับขนาด) การดำเนินการเหล่านี้จะเปลี่ยนตำแหน่งหรือขนาดของรูปร่างโดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติพื้นฐาน
การแปล ย้ายทุกจุดของรูปร่างเป็นระยะทางเดียวกันไปในทิศทางเดียวกัน ลองนึกภาพการเลื่อนหนังสือข้ามโต๊ะ หนังสือขยับแต่ไม่หมุนหรือพลิก
การหมุน จะเปลี่ยนรูปร่างไปรอบๆ จุดคงที่โดยไม่เปลี่ยนขนาดหรือรูปร่าง ลองนึกถึงการหมุนกุญแจรอบล็อค กุญแจหมุนแต่รูปร่างยังคงเหมือนเดิม
การสะท้อน จะสร้างภาพสะท้อนในกระจกของรูปร่างพาดผ่านเส้นที่เรียกว่าแกนการสะท้อน ลองนึกภาพการมองดูรูปร่างในกระจก รูปร่างดูเหมือนเดิมแต่พลิกกลับ
การขยาย จะเปลี่ยนขนาดของรูปร่าง ไม่ว่าจะขยายหรือลดขนาด โดยที่ยังคงรูปร่างและสัดส่วนไว้ รูปภาพซูมเข้าหรือออกบนภาพถ่าย
เรขาคณิตเชิงพิกัดหรือเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเพื่ออธิบายตำแหน่งของจุด เส้น และรูปร่างในอวกาศโดยใช้พิกัด ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นแบบธรรมดาที่สุด โดยมีแกนแนวนอน \(x\) และแกนแนวตั้ง \(y\)
ในระบบนี้ จุดถูกกำหนดโดยคู่อันดับ \((x, y)\) เส้นสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ เช่น \(y = mx + b\) โดยที่ \(m\) คือความชัน และ \(b\) คือจุดตัดแกน y ความชันแสดงถึงมุมและทิศทางของเส้นตรง ในขณะที่จุดตัด y คือจุดที่เส้นตัดผ่านแกน \(y\) -
เรขาคณิตมีการใช้งานจริงที่หลากหลาย ในด้านสถาปัตยกรรมและวิศวกรรมศาสตร์ ใช้เพื่อออกแบบและวิเคราะห์โครงสร้าง ในงานศิลปะ เรขาคณิตมีอิทธิพลต่อองค์ประกอบและเปอร์สเปคทีฟ ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ อัลกอริธึมทางเรขาคณิตจะแสดงรูปร่างและพื้นผิว ในการนำทาง แนวคิดทางเรขาคณิตช่วยในการวางแผนเส้นทางและแผนที่
นอกจากนี้ เรขาคณิตยังมีบทบาทสำคัญในการศึกษาจักรวาลอีกด้วย นักดาราศาสตร์ใช้มันเพื่อคำนวณระยะทางถึงดาวฤกษ์และกาแล็กซี นักภูมิศาสตร์ใช้ข้อมูลนี้เพื่อทำความเข้าใจรูปร่างและขนาดของโลก และในสาขาอื่นๆ อีกนับไม่ถ้วน เรขาคณิตช่วยในการแก้ปัญหาและการสร้างสรรค์นวัตกรรม
เรขาคณิตซึ่งมีหลักการและวิธีการกำหนดรูปแบบความเข้าใจโลกของเรา ไม่ว่าจะผ่านการออกแบบสะพานที่ซับซ้อน รูปแบบของผ้าห่ม หรือวงโคจรของดาวเคราะห์ เรขาคณิตช่วยให้เราตีความและสร้างสรรค์ภายในสภาพแวดล้อมของเรา
