Ang geometry ay isang sangay ng matematika na tumatalakay sa mga hugis, sukat, at katangian ng espasyo. Ito ay nagsasangkot ng pag-unawa sa mga numero at ang mga patakaran na naglalarawan sa kanilang mga relasyon. Ang pangunahing larangan ng pag-aaral na ito ay may mga aplikasyon sa maraming lugar kabilang ang sining, arkitektura, pisika, at engineering.
Ang geometry ay binuo sa ilang pangunahing konsepto: mga punto, linya, eroplano, anggulo, at mga figure. Ang pag-unawa sa mga konseptong ito ay mahalaga upang pag-aralan ang mas kumplikadong mga ideyang geometriko.
Ang mga puntos ay ang pinakasimpleng mga geometric na anyo, na kumakatawan sa isang partikular na lokasyon sa espasyo na walang anumang sukat, hugis, o dimensyon. Habang kinakatawan namin ang mga punto sa mga guhit bilang mga tuldok, sa matematika, sila ay abstract.
Ang mga linya ay tinukoy bilang isang walang katapusang hanay ng mga punto na umaabot sa dalawang magkasalungat na direksyon. Ang mga linya ay may haba ngunit walang kapal, na ginagawang one-dimensional ang mga ito. Ang mga segment ng linya at ray ay mga bahagi ng isang linya. Ang segment ng linya ay may dalawang endpoint, at ang isang ray ay umaabot nang walang hanggan sa isang direksyon mula sa puntong pinanggalingan nito.
Ang mga eroplano ay mga patag na ibabaw na umaabot nang walang hanggan sa lahat ng direksyon. Isipin ang isang eroplano bilang isang sheet ng papel na walang mga gilid. Ang mga eroplano ay dalawang-dimensional, may haba at lapad ngunit walang kapal.
Nabubuo ang mga anggulo kapag nagtagpo ang dalawang sinag sa isang puntong tinatawag na vertex. Ang dami ng pagliko sa pagitan ng dalawang sinag ay sinusukat sa mga degree. Ang mga anggulo ay maaaring talamak (mas mababa sa 90 degrees), mahina (higit sa 90 degrees ngunit mas mababa sa 180 degrees), kanan (eksaktong 90 degrees), o tuwid (180 degrees).
Kabilang sa mga Pangunahing Figure ang mga triangles, quadrilaterals, circles, at polygons. Ang bawat figure ay may mga natatanging katangian at mga formula na nauugnay dito.
Ang mga tatsulok ay tatlong-panig na polygon at inuri batay sa mga gilid o anggulo. Batay sa mga panig, maaari silang maging equilateral (lahat ng panig ay pantay-pantay), isosceles (dalawang panig na pantay-pantay), o scalene (walang panig na katumbas). Batay sa mga anggulo, ang mga tatsulok ay maaaring maging acute, obtuse, o right.
Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo sa anumang tatsulok ay palaging \(180^\circ\) .
Ang mga quadrilateral ay mga apat na panig na polygon. Kasama sa mga karaniwang quadrilateral ang mga parisukat, parihaba, parallelogram, rhombus, at trapezoid. Ang bawat isa ay may natatanging katangian:
Ang bilog ay isang plane figure na tinukoy bilang set ng lahat ng mga punto sa isang eroplano na nasa isang partikular na distansya (radius) mula sa isang partikular na punto (gitna). Ang mga mahahalagang katangian ng mga bilog ay kinabibilangan ng circumference (ang perimeter ng isang bilog) at lugar. Ang circumference (C) ay ibinibigay ng \(C = 2\pi r\) , at ang area (A) ay ibinibigay ng \(A = \pi r^2\) , kung saan \(r\) ay ang radius ng ang bilog.
Ang perimeter ay ang distansya sa paligid ng isang hugis, at ang lugar ay sumusukat sa espasyong nakapaloob sa loob ng isang hugis. Halimbawa, ang perimeter ng isang parihaba na may haba \(l\) at lapad \(w\) ay \(2l + 2w\) , at ang lugar nito ay \(lw\) . Para sa isang tatsulok na may base \(b\) at taas \(h\) , ang lugar ay \(\frac{1}{2}bh\) .
Kasama sa mga geometric na pagbabagong-anyo ang pagsasalin (pag-slide), pag-ikot (pag-ikot), pagmuni-muni (pag-flipping), at pagdilat (pagbabago ng laki). Binabago ng mga operasyong ito ang posisyon o laki ng mga hugis nang hindi binabago ang kanilang mga pangunahing katangian.
Ang pagsasalin ay gumagalaw sa bawat punto ng isang hugis sa parehong distansya sa parehong direksyon. Isipin ang pag-slide ng isang libro sa isang mesa. Ang libro ay gumagalaw ngunit hindi umiikot o pumitik.
Ang pag-ikot ay nagpapaikot ng hugis sa isang nakapirming punto nang hindi binabago ang laki o hugis nito. Isipin ang pag-ikot ng isang susi sa paligid ng isang lock. Ang susi ay umiikot ngunit ang hugis nito ay nananatiling pareho.
Ang pagninilay ay lumilikha ng isang salamin na imahe ng isang hugis sa isang linya na tinatawag na axis ng pagmuni-muni. Isipin ang pagtingin sa isang hugis sa isang salamin; ang hugis ay mukhang pareho ngunit binaligtad.
Binabago ng dilation ang laki ng isang hugis, lumalaki man o lumiliit, habang pinapanatili ang hugis at proporsyon nito. Nag-zoom in o out ang larawan sa isang litrato.
Pinagsasama ng coordinate geometry, o analytic geometry, ang algebra at geometry upang ilarawan ang posisyon ng mga punto, linya, at hugis sa espasyo gamit ang mga coordinate. Ang Cartesian coordinate system ay ang pinakakaraniwan, na may pahalang na \(x\) -axis at patayong \(y\) -axis.
Sa sistemang ito, ang mga puntos ay tinutukoy ng mga nakaayos na pares \((x, y)\) . Ang mga linya ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng mga equation tulad ng \(y = mx + b\) , kung saan \(m\) ay ang slope at \(b\) ay ang y-intercept. Ang slope ay kumakatawan sa anggulo at direksyon ng linya, habang ang y-intercept ay kung saan tumatawid ang linya sa \(y\) -axis.
Ang geometry ay may malawak na hanay ng mga praktikal na aplikasyon. Sa arkitektura at inhinyero, ginagamit ito sa disenyo at pagsusuri ng mga istruktura. Sa sining, ang geometry ay nakakaimpluwensya sa komposisyon at pananaw. Sa computer graphics, ang mga geometric na algorithm ay nagbibigay ng mga hugis at texture. Sa pag-navigate, nakakatulong ang mga geometric na konsepto sa pag-plot ng mga kurso at mapa.
Bukod dito, ang geometry ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-aaral ng uniberso. Ginagamit ito ng mga astronomo upang kalkulahin ang mga distansya sa mga bituin at kalawakan. Ginagamit ito ng mga heograpo upang maunawaan ang hugis at sukat ng daigdig, at sa hindi mabilang na iba pang larangan, nakakatulong ang geometry sa paglutas ng problema at pagbabago.
Ang geometry, kasama ang mga prinsipyo at pamamaraan nito, ay humuhubog sa ating pag-unawa sa mundo. Sa pamamagitan man ng masalimuot na disenyo ng isang tulay, ang pattern ng isang kubrekama, o ang orbit ng isang planeta, tinutulungan tayo ng geometry na bigyang-kahulugan at lumikha sa loob ng ating kapaligiran.
