Geometri, uzayın şekilleri, boyutları ve özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Şekilleri ve onların ilişkilerini tanımlayan kuralları anlamayı içerir. Bu temel çalışma alanının sanat, mimari, fizik ve mühendislik gibi birçok alanda uygulamaları vardır.
Geometri birkaç temel kavram üzerine kuruludur: noktalar, çizgiler, düzlemler, açılar ve şekiller. Bu kavramları anlamak, daha karmaşık geometrik fikirleri incelemek için gereklidir.
Noktalar , herhangi bir boyut, şekil veya boyut olmaksızın uzayda belirli bir konumu temsil eden en basit geometrik formlardır. Çizimlerde noktaları noktalarla temsil etsek de matematiksel olarak soyutturlar.
Doğrular, iki zıt yönde uzanan sonsuz nokta kümesi olarak tanımlanır. Çizgilerin uzunluğu vardır ancak kalınlığı yoktur, bu da onları tek boyutlu yapar. Doğru parçaları ve ışınlar bir çizginin parçalarıdır. Bir doğru parçasının iki uç noktası vardır ve ışın, başlangıç noktasından itibaren tek bir yönde sonsuza kadar uzanır.
Düzlemler her yöne sonsuz uzanan düz yüzeylerdir. Uçağı kenarları olmayan bir kağıt parçası olarak hayal edin. Düzlemler iki boyutludur; uzunlukları ve genişlikleri vardır ancak kalınlıkları yoktur.
İki ışın tepe noktası adı verilen bir noktada buluştuğunda açılar oluşur. İki ışın arasındaki dönüş miktarı derece cinsinden ölçülür. Açılar dar (90 dereceden az), geniş (90 dereceden fazla ancak 180 dereceden az), sağ (tam olarak 90 derece) veya düz (180 derece) olabilir.
Temel Şekiller üçgenleri, dörtgenleri, daireleri ve çokgenleri içerir. Her şeklin kendine özgü özellikleri ve kendisiyle ilişkili formülleri vardır.
Üçgenler üç kenarlı çokgenlerdir ve kenarlarına veya açılarına göre sınıflandırılırlar. Kenarlara göre eşkenar (tüm kenarlar eşit), ikizkenar (iki kenar eşit) veya çeşitkenar (hiçbir kenar eşit değil) olabilirler. Açılara bağlı olarak üçgenler dar, geniş veya dik olabilir.
Herhangi bir üçgendeki iç açıların toplamı her zaman \(180^\circ\) olur.
Dörtgenler dört kenarlı çokgenlerdir. Yaygın dörtgenler arasında kareler, dikdörtgenler, paralelkenarlar, eşkenar dörtgenler ve yamuklar bulunur. Her birinin kendine özgü özellikleri vardır:
Daire, belirli bir noktadan (merkez) belirli bir mesafede (yarıçap) bulunan bir düzlemdeki tüm noktaların kümesi olarak tanımlanan düzlemsel bir şekildir. Dairelerin önemli özellikleri arasında çevre (bir dairenin çevresi) ve alan bulunur. Çevre (C) \(C = 2\pi r\) ile verilir ve alan (A), \(A = \pi r^2\) ile verilir; burada \(r\) yarıçaptır. Daire.
Çevre, şeklin etrafındaki mesafedir ve alan, şeklin içinde kalan alanı ölçer. Örneğin, uzunluğu \(l\) ve genişliği \(w\) olan bir dikdörtgenin çevresi \(2l + 2w\) ve alanı \(lw\) 'dir. Tabanı \(b\) ve yüksekliği \(h\) olan bir üçgen için alan \(\frac{1}{2}bh\) olur.
Geometrik dönüşümler arasında öteleme (kayma), döndürme (döndürme), yansıma (çevirme) ve genişleme (yeniden boyutlandırma) bulunur. Bu işlemler, temel özelliklerini değiştirmeden şekillerin konumunu veya boyutunu değiştirir.
Çeviri, bir şeklin her noktasını aynı yönde aynı mesafeye taşır. Bir kitabı masanın üzerinde kaydırdığınızı hayal edin. Kitap hareket ediyor ancak dönmüyor veya çevrilmiyor.
Döndürme, bir şeklin boyutunu veya şeklini değiştirmeden sabit bir nokta etrafında döndürmedir. Bir anahtarı kilidin etrafında döndürmeyi düşünün. Anahtar dönüyor ama şekli aynı kalıyor.
Yansıma, yansıma ekseni adı verilen bir çizgi boyunca şeklin ayna görüntüsünü oluşturur. Aynadaki bir şekle baktığınızı hayal edin; şekil aynı görünüyor ancak ters çevrilmiş.
Genişleme , şeklini ve oranını korurken şeklin boyutunu büyüterek veya küçülterek değiştirir. Fotoğrafın yakınlaştırılması veya uzaklaştırılması.
Koordinat geometrisi veya analitik geometri, koordinatları kullanarak uzaydaki noktaların, çizgilerin ve şekillerin konumunu tanımlamak için cebir ve geometriyi birleştirir. Yatay \(x\) ekseni ve dikey \(y\) ekseniyle Kartezyen koordinat sistemi en yaygın olanıdır.
Bu sistemde noktalar \((x, y)\) sıralı çiftleri ile tanımlanır. Çizgiler \(y = mx + b\) gibi denklemlerle tanımlanabilir; burada \(m\) eğim ve \(b\) y kesme noktasıdır. Eğim, çizginin açısını ve yönünü temsil eder; y kesme noktası ise çizginin \(y\) eksenini kestiği yerdir.
Geometrinin çok çeşitli pratik uygulamaları vardır. Mimarlık ve mühendislikte yapıların tasarlanması ve analiz edilmesi için kullanılır. Sanatta geometri kompozisyonu ve perspektifi etkiler. Bilgisayar grafiklerinde geometrik algoritmalar şekilleri ve dokuları işler. Navigasyonda geometrik kavramlar rotaların ve haritaların çizilmesine yardımcı olur.
Dahası geometri evrenin incelenmesinde hayati bir rol oynar. Gökbilimciler bunu yıldızlara ve galaksilere olan mesafeleri hesaplamak için kullanırlar. Coğrafyacılar bunu dünyanın şeklini ve boyutunu anlamak için kullanırlar ve diğer sayısız alanda geometri, problem çözme ve yeniliğe yardımcı olur.
Geometri, ilkeleri ve yöntemleriyle dünya anlayışımızı şekillendirir. İster bir köprünün karmaşık tasarımı, ister bir yorganın deseni, isterse bir gezegenin yörüngesi olsun, geometri çevremizi yorumlamamıza ve yaratmamıza yardımcı olur.
