Геометрія — це розділ математики, який вивчає форми, розміри та властивості простору. Воно передбачає розуміння фігур і правил, які описують їхні взаємозв’язки. Ця фундаментальна область дослідження має застосування в багатьох областях, включаючи мистецтво, архітектуру, фізику та інженерію.
Геометрія побудована на кількох основних поняттях: точки, лінії, площини, кути та фігури. Розуміння цих концепцій є важливим для вивчення більш складних геометричних ідей.
Точки — це найпростіші геометричні форми, що представляють конкретне місце в просторі без будь-якого розміру, форми чи виміру. Хоча ми представляємо точки на малюнках у вигляді крапок, з математичної точки зору вони абстрактні.
Лінії визначаються як нескінченний набір точок, що простягаються в двох протилежних напрямках. Лінії мають довжину, але не мають товщини, що робить їх одновимірними. Відрізки та промені є частинами прямої. Відрізок має дві кінцівки, а промінь тягнеться нескінченно в одному напрямку від точки початку.
Площини — це плоскі поверхні, нескінченно простягнуті в усіх напрямках. Уявіть собі літак як аркуш паперу без країв. Площини є двовимірними, мають довжину та ширину, але не мають товщини.
Кути утворюються, коли два промені зустрічаються в точці, яка називається вершиною. Величина повороту між двома променями вимірюється в градусах. Кути можуть бути гострими (менше 90 градусів), тупими (більше 90 градусів, але менше 180 градусів), прямими (рівно 90 градусів) або прямими (180 градусів).
Основні фігури включають трикутники, чотирикутники, кола та багатокутники. Кожна фігура має унікальні властивості та пов’язані з нею формули.
Трикутники — це трикутники, які класифікуються за сторонами або кутами. Залежно від сторін вони можуть бути рівнобедреними (усі сторони рівні), рівнобедреними (дві сторони рівні) або масштабними (немає рівних сторін). Залежно від кутів трикутники бувають гострим, тупим і прямим.
Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює \(180^\circ\) .
Чотирикутники - це чотирикутники. Звичайні чотирикутники включають квадрати, прямокутники, паралелограми, ромби та трапеції. Кожен має різні властивості:
Коло — це плоска фігура, яка визначається як сукупність усіх точок площини, які знаходяться на заданій відстані (радіусі) від даної точки (центру). До важливих властивостей кіл відносяться окружність (периметр кола) і площа. Довжина кола (C) визначається як \(C = 2\pi r\) , а площа (A) визначається як \(A = \pi r^2\) , де \(r\) — радіус коло.
Периметр — це відстань навколо фігури, а площа — простір, укладений у фігурі. Наприклад, периметр прямокутника довжиною \(l\) і шириною \(w\) дорівнює \(2l + 2w\) , а його площа — \(lw\) . Для трикутника з основою \(b\) і висотою \(h\) площа дорівнює \(\frac{1}{2}bh\) .
Геометричні перетворення включають переміщення (ковзання), обертання (повертання), відображення (гортання) і розширення (зміна розміру). Ці операції змінюють положення або розмір фігур, не змінюючи їхні основні властивості.
Переміщення переміщує кожну точку фігури на однакову відстань в одному напрямку. Уявіть, що ви ковзаєте книгою по столу. Книга рухається, але не обертається і не перевертається.
Обертання повертає фігуру навколо фіксованої точки без зміни її розміру чи форми. Подумайте про обертання ключа навколо замка. Ключ повертається, але його форма залишається незмінною.
Відображення створює дзеркальне відображення фігури через лінію, яка називається віссю відображення. Уявіть, що ви дивитеся на фігуру в дзеркалі; форма виглядає так само, але перевернута.
Розширення змінює розмір форми, збільшуючи або зменшуючи, зберігаючи її форму та пропорції. Зображення збільшення або зменшення масштабу фотографії.
Координатна геометрія, або аналітична геометрія, поєднує алгебру та геометрію для опису положення точок, ліній і фігур у просторі за допомогою координат. Декартова система координат є найпоширенішою з горизонтальною віссю \(x\) і вертикальною віссю \(y\) .
У цій системі точки визначаються впорядкованими парами \((x, y)\) . Лінії можна описати такими рівняннями, як \(y = mx + b\) , де \(m\) — кут нахилу, а \(b\) — точка перетину y. Нахил представляє кут і напрямок лінії, тоді як точка перетину y – це місце, де лінія перетинає вісь \(y\) .
Геометрія має широкий спектр практичних застосувань. В архітектурі та інженерії він використовується для проектування та аналізу конструкцій. У мистецтві геометрія впливає на композицію та перспективу. У комп’ютерній графіці геометричні алгоритми відображають форми та текстури. У навігації геометричні поняття допомагають прокладати курси та карти.
Крім того, геометрія відіграє життєво важливу роль у вивченні Всесвіту. Астрономи використовують його для обчислення відстані до зірок і галактик. Географи використовують її, щоб зрозуміти форму та розмір Землі, а в незліченній кількості інших галузей геометрія допомагає вирішувати проблеми та впроваджувати інновації.
Геометрія з її принципами та методами формує наше розуміння світу. Через складну конструкцію мосту, візерунок ковдри чи орбіту планети, геометрія допомагає нам інтерпретувати та творити в навколишньому середовищі.
