جیومیٹری ریاضی کی ایک شاخ ہے جو اشکال، سائز اور جگہ کی خصوصیات سے متعلق ہے۔ اس میں اعداد و شمار اور قواعد کو سمجھنا شامل ہے جو ان کے تعلقات کو بیان کرتے ہیں۔ مطالعہ کے اس بنیادی شعبے میں آرٹ، فن تعمیر، طبیعیات، اور انجینئرنگ سمیت بہت سے شعبوں میں درخواستیں ہیں۔
جیومیٹری کو چند بنیادی تصورات پر بنایا گیا ہے: پوائنٹس، لائنز، پلینز، زاویہ اور اعداد۔ مزید پیچیدہ ہندسی نظریات کا مطالعہ کرنے کے لیے ان تصورات کو سمجھنا ضروری ہے۔
پوائنٹس سب سے آسان ہندسی شکلیں ہیں جو خلا میں کسی بھی سائز، شکل یا جہت کے بغیر کسی مخصوص مقام کی نمائندگی کرتی ہیں۔ جب کہ ہم نقشوں میں نقطوں کی نمائندگی کرتے ہیں، ریاضی کے لحاظ سے، وہ تجریدی ہیں۔
لکیریں دو مخالف سمتوں میں پھیلے ہوئے پوائنٹس کے لامحدود سیٹ کے طور پر بیان کی جاتی ہیں۔ لکیروں کی لمبائی ہوتی ہے لیکن موٹائی نہیں ہوتی، جو انہیں ایک جہتی بناتی ہے۔ لائن کے حصے اور شعاعیں ایک لکیر کے حصے ہیں۔ ایک لائن سیگمنٹ کے دو اختتامی نقطے ہوتے ہیں، اور ایک کرن اپنے نقطہ آغاز سے ایک سمت میں لامحدود حد تک پھیلی ہوئی ہے۔
ہوائی جہاز ہموار سطحیں ہیں جو تمام سمتوں میں لامحدود پھیلی ہوئی ہیں۔ کسی ہوائی جہاز کو کاغذ کی ایک شیٹ کے طور پر تصور کریں جس کا کوئی کنارہ نہیں ہے۔ طیارے دو جہتی ہوتے ہیں جن کی لمبائی اور چوڑائی ہوتی ہے لیکن موٹائی نہیں ہوتی۔
زاویہ اس وقت بنتا ہے جب دو شعاعیں ایک نقطہ پر آپس میں ملتی ہیں جسے ورٹیکس کہتے ہیں۔ دو شعاعوں کے درمیان موڑ کی مقدار کو ڈگری میں ماپا جاتا ہے۔ زاویے شدید (90 ڈگری سے کم)، اوندھا (90 ڈگری سے زیادہ لیکن 180 ڈگری سے کم)، دائیں (بالکل 90 ڈگری) یا سیدھے (180 ڈگری) ہو سکتے ہیں۔
بنیادی اعداد و شمار میں مثلث، چوکور، دائرے اور کثیر الاضلاع شامل ہیں۔ ہر اعداد و شمار میں منفرد خصوصیات اور اس کے ساتھ منسلک فارمولے ہیں.
مثلث تین رخا کثیر الاضلاع ہیں اور اطراف یا زاویوں کی بنیاد پر درجہ بندی کی جاتی ہیں۔ اطراف کی بنیاد پر، وہ مساوی (تمام اطراف مساوی)، آئسوسیلس (دو اطراف برابر)، یا اسکیلین (کوئی اطراف برابر نہیں) ہوسکتے ہیں۔ زاویوں کی بنیاد پر، مثلث شدید، اوبدہ یا دائیں ہو سکتے ہیں۔
کسی بھی مثلث میں داخلی زاویوں کا مجموعہ ہمیشہ \(180^\circ\) ہے۔
چوکور چار رخا کثیر الاضلاع ہیں۔ عام چوکور میں مربع، مستطیل، متوازی علامت، رومبس، اور ٹریپیزائڈز شامل ہیں۔ ہر ایک کی الگ الگ خصوصیات ہیں:
ایک دائرہ ایک طیارہ کی شکل ہے جس کی وضاحت ہوائی جہاز کے تمام پوائنٹس کے سیٹ کے طور پر کی جاتی ہے جو ایک دیئے گئے نقطہ (مرکز) سے ایک مقررہ فاصلے (رداس) پر ہوتے ہیں۔ دائروں کی اہم خصوصیات میں فریم (ایک دائرے کا دائرہ) اور رقبہ شامل ہے۔ فریم (C) \(C = 2\pi r\) سے دیا گیا ہے، اور رقبہ (A) \(A = \pi r^2\) سے دیا گیا ہے، جہاں \(r\) کا رداس ہے۔ دائرہ
دائرہ کسی شکل کے ارد گرد کا فاصلہ ہے، اور رقبہ کسی شکل کے اندر بند جگہ کی پیمائش کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، لمبائی \(l\) اور چوڑائی \(w\) والے مستطیل کا دائرہ \(2l + 2w\) ہے، اور اس کا رقبہ \(lw\) ہے۔ ایک مثلث کے لیے جس کی بنیاد \(b\) اور اونچائی \(h\) ، رقبہ ہے \(\frac{1}{2}bh\)
ہندسی تبدیلیوں میں ترجمہ (سلائیڈنگ)، گردش (مڑنا)، انعکاس (پلٹنا)، اور بازی (ریائزنگ) شامل ہیں۔ یہ آپریشن ان کی بنیادی خصوصیات کو تبدیل کیے بغیر شکلوں کی پوزیشن یا سائز کو تبدیل کرتے ہیں۔
ترجمہ ایک شکل کے ہر نقطہ کو ایک ہی سمت میں ایک ہی فاصلے پر منتقل کرتا ہے۔ کسی کتاب کو میز پر پھسلانے کا تصور کریں۔ کتاب حرکت کرتی ہے لیکن گھومتی ہے نہ پلٹتی ہے۔
گردش کسی شکل کو اس کے سائز یا شکل کو تبدیل کیے بغیر ایک مقررہ نقطہ کے گرد موڑ دیتی ہے۔ کسی تالے کے گرد چابی گھمانے کے بارے میں سوچیں۔ چابی موڑ جاتی ہے لیکن اس کی شکل وہی رہتی ہے۔
انعکاس ایک لکیر کے پار ایک شکل کی آئینہ امیج بناتا ہے جسے ریفلیکشن کا محور کہتے ہیں۔ آئینے میں کسی شکل کو دیکھنے کا تصور کریں۔ شکل ایک جیسی نظر آتی ہے لیکن پلٹ جاتی ہے۔
بازی اس کی شکل اور تناسب کو برقرار رکھتے ہوئے شکل کے سائز کو تبدیل کرتی ہے، یا تو بڑا کرتی ہے یا کم کرتی ہے۔ تصویر کو کسی تصویر پر زوم ان یا آؤٹ کرنا۔
کوآرڈینیٹ جیومیٹری، یا تجزیاتی جیومیٹری، الجبرا اور جیومیٹری کو یکجا کرتی ہے تاکہ نقاط کا استعمال کرتے ہوئے خلا میں پوائنٹس، لائنوں اور اشکال کی پوزیشن کو بیان کیا جا سکے۔ کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم سب سے عام ہے، ایک افقی \(x\) -محور اور عمودی \(y\) -محور کے ساتھ۔
اس نظام میں، پوائنٹس کی وضاحت ترتیب شدہ جوڑوں سے ہوتی ہے \((x, y)\) ۔ لائنوں کو مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جیسے \(y = mx + b\) ، جہاں \(m\) ڈھلوان ہے اور \(b\) y-انٹرسیپٹ ہے۔ ڈھلوان لائن کے زاویہ اور سمت کی نمائندگی کرتا ہے، جبکہ y-انٹرسیپٹ وہ جگہ ہے جہاں لائن \(y\) -محور کو عبور کرتی ہے۔
جیومیٹری میں عملی ایپلی کیشنز کی ایک وسیع رینج ہے۔ فن تعمیر اور انجینئرنگ میں، یہ ڈھانچے کے ڈیزائن اور تجزیہ کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ آرٹ میں، جیومیٹری ساخت اور تناظر کو متاثر کرتی ہے۔ کمپیوٹر گرافکس میں، جیومیٹرک الگورتھم شکلیں اور بناوٹ پیش کرتے ہیں۔ نیویگیشن میں، ہندسی تصورات کورسز اور نقشوں کی منصوبہ بندی میں مدد کرتے ہیں۔
مزید یہ کہ جیومیٹری کائنات کے مطالعہ میں ایک اہم کردار ادا کرتی ہے۔ ماہرین فلکیات اسے ستاروں اور کہکشاؤں کے فاصلے کا حساب لگانے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ جغرافیہ دان اسے زمین کی شکل اور جسامت کو سمجھنے کے لیے استعمال کرتے ہیں، اور ان گنت دیگر شعبوں میں، جیومیٹری مسائل کے حل اور اختراع میں مدد کرتی ہے۔
جیومیٹری اپنے اصولوں اور طریقوں کے ساتھ دنیا کے بارے میں ہماری سمجھ کو تشکیل دیتی ہے۔ چاہے ایک پل کے پیچیدہ ڈیزائن کے ذریعے، ایک لحاف کا نمونہ، یا کسی سیارے کے مدار کے ذریعے، جیومیٹری ہمارے ماحول کے اندر تشریح اور تخلیق کرنے میں ہماری مدد کرتی ہے۔
